2015届高三年级第一次五校联考理科数学试卷

本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．命题人：二高董正林

注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．

3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效．

4. 作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效．

5. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）

1. 已知
，是虚数单位，若
与
互为共轭复数，则
＝（ ）

A．
B．
C．
D．

2. 设集合
，
，则
＝（ ）

A．
B．
C．
D．

3. 函数
的零点所在的区间为（ ）

A．
B．
C．
D．

4. 已知m
，n
，则 “a＝2”是“m
n”的（ ）

A．充要条件 B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

5. 一个多面体的三视图如右图所示，则该多面体的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务. 已知：①食物投掷地点有远、近两处； ②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处。则不同的搜寻方案有（ ）（第5题图）

A．40种 B．70种 C．80种 D．100种

7. 已知数列
的首项为
，且满足对任意的
，都有
，
成立，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 已知函数
，当
时，恒有

成立，则实数的取值范围（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共7小题，其中第9~第13题为必做题，第14~第15题为选做题，考生从中任选一题作答，两题均选按第14题给分，每小题5分，总分30分）

9. 右图是一个算法的程序框图，若输出的结果是31，则判断框中的正整数
的值是___________．

10. 若二项式
的展开式中的第5项是常数项， 则n=___________．

11. 若实数
满足约束条件
，则目标函数
的最大值为___________．

12. 已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题，其中所有正确命题的序号是___________．

①若m∥β，n∥β，m、nα，则α∥β .

②若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m，nγ，则m⊥n .

③若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β .

④若n∥α，n∥β，α∩β＝m，那么m∥n .

13. 若不等式
的解集是区间
的子集，则实数的范围为__________．

14.（参数方程与极坐标）已知在直角坐标系中曲线
的参数方程为
（为参数且
），在以原点
为极点，以轴正半轴为极轴建立的极坐标系中曲线
的极坐标方程为
，则曲线
与
交点的直角坐标为__________．

15.（几何证明选讲）如图，
切圆
于点,
交圆
于
两点，且与直径
交于点，若
，

则
___________． （第15题图）

三、解答题（本大题共6小题，满分80分，解答过程须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

16. （本小题满分12分）

已知
的最小正周期为
.

（1）求
的值；

（2）在
中，角
所对应的边分别为
，若有
，则求角的大小以及
的取值范围.

17. （本小题满分12分）

已知一个袋子里有形状一样仅颜色不同的6个小球，其中白球2个，黑球4个. 现从中随机取球，每次只取一球.

（1）若每次取球后都放回袋中，求事件“连续取球四次，至少取得两次白球”的概率；

（2）若每次取球后都不放回袋中，且规定取完所有白球或取球次数达到五次就终止游戏，记游戏结束时一共取球X次，求随机变量X的分布列与期望

18. （本小题满分14分）

如图，三棱柱
侧棱与底面垂直，且所有棱长都为4，D为CC1中点．

（1）求证：
；

（2）求二面角
的余弦值．

（第18题图）

19. （本小题满分14分）

已知数列
满足
，
，
是数列
的前n项和，且有
.

（1）证明：数列
为等差数列；

（2）求数列
的通项公式；

（3）设
，记数列
的前n项和
，求证：
.

20. （本小题满分14分）

已知双曲线
，
分别是它的左、右焦点，
是其左顶点，且双曲线的离心率为
. 设过右焦点
的直线
与双曲线C的右支交于
两点，其中点位于第一象限内.

（1）求双曲线的方程；

（2）若直线
分别与直线
交于
两点，求证：
；

（3）是否存在常数
，使得
恒成立？若存在，求出
的值，若不存在，请说明理由.

（第20题图）

21. （本小题满分14分）

已知函数
.

（1）求函数
的单调区间；

（2）若
，设
，
是函数
图像上的任意两点（
），记直线AB的斜率为
，求证：
.

2015届高三年级第一次五校联考理科数学试卷

参考答案

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

D

C

C

B

A

A

A

D



二、填空题：

9、 4 10、 6 11、 8 12、 ②④

13、
14、 （2，2） 15、 15

三、解答题：

16. （本小题满分12分）

已知
的最小正周期为
.

（1）求
的值；

（2）在
中，角
所对应的边分别为
，若有
，则求角的大小以及
的取值范围.

解：（1）
……1分

……2分

……3分

的最小正周期为
，即：
……4分

……5分

……6分

（2）

∴由正弦定理可得：
……7分

……8分

……9分

……10分

……11分

……12分

17. （本小题满分12分）

已知一个袋子里有形状一样仅颜色不同的6个小球，其中白球2个，黑球4个. 现从中随机取球，每次只取一球.

（1）若每次取球后都放回袋中，求事件“连续取球四次，至少取得两次白球”的概率；

（2）若每次取球后都不放回袋中，且规定取完所有白球或取球次数达到五次就终止游戏，记游戏结束时一共取球X次，求随机变量X的分布列与期望.

解：（1）记事件
表示“第i次取到白球”（
），事件表示“连续取球四次，至少取得两次白球”，则：
. ……2分

……4分

……5分

或者：记随机变量
表示连续取球四次，取得白球的次数. 易知
……2分

则
……5分

（2）易知：随机变量X的取值分别为2，3，4，5 ……6分

，

，
……10分

∴随机变量X的分布列为：

X

2

3

4

5



P