2015届高三年级第一次五校联考文科数学试卷

本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．命题人：二高范铯

注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．

3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效．

4. 作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效．

5. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．

参考公式：锥体的体积公式为
，其中
为锥体的底面积，
为锥体的高．

个数据的方差
，其中
.

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合
，集合
，则

A．
B．
C．
D．

2．设复数
，
，若
，则

A．
B．
C． D．

3．已知
是两条不同直线，
是三个不同平面，下列命题中正确的是

A．
B．

C．
D．

4．已知向量
，
且
，则
的值为

A．
B．
C．5 D．13

5．等差数列
的前项和为
，已知
，则

A． B． C． D．

6．执行如右图所示的程序框图，则输出的=

A．
B． C．
D．

7．将函数
的图像向右平移
个单位后所得的

图像的一个对称轴是

A．
B．
C．
D．

8．函数
在区间[0，4]上的零点个数是

A．4B．5 C．6 D． 7

9．已知直线
，若曲线
上存在两点P、Q关于直线对称，

则的值为

A． B．
C． D．

10．已知函数
是定义在R上的奇函数，
，当
时，有
成立，则不等式

的解集是

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共5题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．

（一）必做题（11～13题）

11. 函数
的定义域为.

12.一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为．

13.设双曲线
的离心率为2，且一个焦点与抛物线
的焦点相同，则此双曲线的方程

为____.

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14. （几何证明选讲选做题）如图，
是圆
的切线，切点为
，点在圆
上，

，
，则圆
的面积为________．

15. （正四棱锥与球体积选做题）棱长为1的正方体的外接球的体积为________．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知函数

（1）求函数
的最小正周期和值域；

（2）若
，求
的值．

17．（本小题满分13分）

某中学高三年级从甲（文）、乙（理）两个年级组各选出7名学生参加高校自主招生数学选拔考试，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲组学生的平均分是85，乙组学生成绩的中位数是83．

（1）求和的值；

（2）计算甲组7位学生成绩的方差
；

（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，

求甲组至少有一名学生的概率．

18．（本小题满分13分）

如图甲，在平面四边形ABCD中，已知

，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．

（1）求证：DC平面ABC；

（2）设
，求三棱锥A－BFE的体积．

19．（本小题满分14分）

各项均不相等的等差数列
的前四项的和为
，且
成等比数列．

（1）求数列
的通项公式
与前n项和
；

（2）记
为数列
的前n项和，若
对任意的正整数n都成立，求实数λ的最小值．

20．（本小题满分14分）

已知椭圆：
（
）的上顶点为
，过的焦点且垂直长轴的弦长为．若有一个菱形
的顶点、
在椭圆上，该菱形对角线
所在直线的斜率为
．

（1）求椭圆的方程；

（2）当直线
过点
时，求直线
的方程；

（3）当
时，求菱形
面积的最大值．

21．（本小题满分14分）

已知函数
，
．

（1）若
，判断函数
是否存在极值，若存在，求出极值；若不存在，说明理由；

（2）设函数
，若至少存在一个
，使得
成立，求实数a的取值范围；

（3）求函数
的单调区间．

2015届高三年级第一次五校联考文科数学试卷

答案及评分标准

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

B

A

D

B

C

D

A

C

D

A



二、填空题：

11．
12．
13．
14．
15．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。

16.（本小题满分12分）

已知函数

（1）求函数
的最小正周期和值域；（2）若
，求
的值。

16. 解：（1）由已知，

……………………………4分

所以
的最小正周期为
，值域为
. ……………………………6分

（2）由（1）知，

所以
. ……………………8分

所以

，

……………………………12分

或由

得：