2014年高2015届成都高新区学月统一检测

数学（理）

（考试时间：9月4日下午2：00—4：00 总分：150分）

第Ⅰ卷（选择题，共 50 分）

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1. 已知
是虚数单位，若
与
互为共轭复数，则

（A）
(B)
(C)
(D)

2. 设集合
则

(A) [1,3) (B) (1,3) (C) [0,2] (D) (1,4)

3. 在
的展开式中，含
项的系数为

(A)28 (B)56 (C)70 (D)8

4. 设
是公比为的等比数列，则“
为递增数列”是“
”的

(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件

5. 将函数
的图象向左平移
个单位长度，所得图象对应的函数

(A) 在区间
上单调递减 (B) 在区间
上单调递增

(C) 在区间
上单调递减 (D) 在区间
上单调递增

6. 执行如图所示的程序框图，若输入的的值为1，则输出的的值为

(A)5 (B)3 (C)2 (D)1

7. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为

(A)
(B)
(C)
(D)

8.已知
，若
是
的最小值，则的取值范围为

(A)[-1,2] (B)[-1，0] (C)[1，2] (D)

9. 为了研究某药物的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：
）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为

（A） （B） （C）
（D）

10. 当
时，不等式
恒成立，则实数的取值范围是

(A)
(B)
(C)
(D)

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数学（理）

（考试时间：9月4日下午2：00—4：00 总分：150分）

第Ⅱ卷（非选择题，共 100分）

二．填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上）

11.某中学为了解高三学生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从高三的四个班的学生中抽取一个容量为100的样本进行调查.已知一、二、三、四班的学生人数之比为4：5：5：6，则应从一班学生中抽取____ ___名学生.

12.在等差数列
中，
,则
的前5项和
= .

13.在
中，
,则
的面积等于_______ __.

14.要从7个班中选10人参加演讲比赛，每班至少1人，共有 种不同的选法.

15.下图展示了一个由区间
到实数集的映射过程：区间
中的实数对应数上的点，如图1；将线段
围成一个圆，使两端点
恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在轴上，点的坐标为
，如图3.图3中直线
与轴交于点
，则的象就是，记作
.

下列说法中正确命题的序号是 .(填出所有正确命题的序号)

①方程
的解是

； ②
；

③
是奇函数； ④
在定义域上单调递增；

⑤
的图象关于点
对称．

三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（本题满分12分）已知函数
，
.

（Ⅰ）求
的最小正周期； （Ⅱ）求
在闭区间
上的最大值和最小值.

17．（本题满分12分）某中学社团部志愿者协会共有6名男同学，4名女同学. 在这10名同学中，3名同学来自动漫社，其余7名同学来自摄影社、话剧社等其他互不相同的七个社团. 现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区参加志愿活动（每位同学被选到的可能性相同）.

（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同社团的概率；

（Ⅱ）设
为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量
的分布列和数学期望.

18．（本题满分12分）

已知
为定义在
上的奇函数，当
时，函数解析式为
.

（Ⅰ）求
的值，并求出
在
上的解析式；

（Ⅱ）求
在
上的最值．

19.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，
底面
，
，
，
，
，点为棱
的中点.

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）若为棱
上一点，满足
，

求二面角
的余弦值.

20．（本小题满分13分）

已知等差数列
的公差为，前项和为
，且
，
，
成等比数列。

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）令
=
求数列
的前项和
。

21.（本小题满分14分）

已知函数
（
为常数）的图象与轴交于点，曲线
在点处的切线斜率为
.

（Ⅰ）求
的值及函数
的极值；

（Ⅱ）证明：当
时，
；

（Ⅲ）证明：对任意给定的正数，总存在
，使得当
，恒有
.

2014年高2015届成都高新区学月统一检测

数学（理）标准答案与评分细则

一、选择题：1-5：DAADA 6-10 BBDCB

部分解答：

7. 解析：选B。由三视图知：几何体是正方体切去两个
圆柱，

正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，

∴几何体的体积V=23﹣2×
×π×12×2=8﹣π．

8.解析：选D。

解法一：排除法。

当a=0时，结论成立，排除C；

当a=-1时，f(0)不是最小值，排除A、B，选D。

解法二：直接法。

由于当
时，
在
时取得最小值为
，由题意当
时，
递减，则
，此时最小值为
，所以
，选D。

10. 解析：选B。

当x=0时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0对任意a∈R恒成立；

当0＜x≤1时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≥
，

令f（x）=
，则f′（x）=
=﹣
（*），

当0＜x≤1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上单调递增，

f（x）max=f（1）=﹣6，∴a≥﹣6；

当﹣2≤x＜0时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≤
，

由（*）式可知，当﹣2≤x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，

f（x）min=f（﹣1）=﹣2，∴a≤﹣2；

综上所述，实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2，即实数a的取值范围是[﹣6，﹣2]．

二、填空题：11. 20 12. 15 13.
14.24 15.①④⑤

部分解答：

14.解析：84　。共分三类：

第一类：一个班出4人，其余6个班各出1人，有C种；

第二类：有2个班分别出2人，3人，其余5个班各出1人，有A种；

第三类：有3个班各出2人，其余4个班各出1人，有C种，

故共有C＋A＋C＝84(种)．

15. 解析：

①
则
，正确；

②当
时，∠ACM=
,此时
故
，不对；

③
的定义域为
不关于原点对称，是非奇非偶函数；

④显然随着的增大,也增大;所以
在定义域上单调递增 ，正确；

又整个过程是对称的,所以正确。

三、解答题：

16.解：（Ⅰ）由已知，有

..................................2分

. ....... ....... ....... ....... 4分

所以，
的最小正周期
. ..................................6分

（Ⅱ）因为
在区间
上是减函数，在区间
上是增函数. ...8分

根据图像的对称性知其最小与最大值分别为：
，
.

所以，函数
在闭区间
上的最大值为
，最小值为
. ..........12分

17．解：（Ⅰ）设“选出的3名同学来自互不相同的社团”为事件，则

.

所以，选出的3名同学来自互不相同社团的概率为
. ..................... 6分

（Ⅱ）随机变量
的所有可能值为0，1，2，3.

.

所以，随机变量
的分布列是

0

1

2

3















 .................................. 10分

随机变量
的数学期望
. .........12分

18.解：(Ⅰ)∵f(x)为定义在[－1,1]上的奇函数，且f(x)在x＝0处有意义，

∴f(0)＝0，即f(0)＝＝1－
＝0.

∴
＝1. ............. 3分

设x∈[0,1]，则－x∈[－1,0]．

∴f(－x)＝－＝4x－2x.

又∵f(－x)＝－f(x)

∴－f(x)＝4x－2x.

∴f(x)＝2x－4x.

所以，
在
[上的解析式为f(x)＝2x－4x .................... 6分

(Ⅱ)当x∈[0,1]，f(x)＝2x－4x＝2x－(2x)2，

∴设t＝2x(t>0)，则f(t)＝t－t2.

∵x∈[0,1]，∴t∈[1,2]．

当t＝1时，取最大值，最大值为1－1＝0.

当t=0时，取最小值为-2.

所以，函数在[0,1]上的最大与最小值分别为0，-2. .................... 12分

19.解:

解法一：坐标法。

依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图），.........................2分

可得
，
，
，
.由为棱
的中点，得
.

（Ⅰ）向量
，
，故
. 所以，
. ................................................5分

（Ⅱ）向量
，
，
，
.

由点在棱
上，设
，
.

故
.

由
，得
，

因此，
，解得
. ..........................