秘密★启用前 考试时间：5月31日 15：00—17：00

2014年普通高等学校招生全国统一考试

数 学（理）

（贵阳市清华中学考前适应性考试）

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3．答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

本试题卷分选择题和非选择题两部分。满分150分, 考试时间120分钟。

第I卷（选择题 共60分）

一、选择题 (在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的每小题5分，共60分）

１．已知集合
则
为

Ａ．
　　　　　Ｂ．
　　　　　Ｃ．
　　　　　Ｄ．

2.复平面内，复数
，则复数的共轭复数对应的点在

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3．已知
是两个不同的平面．则“平面∥平面
”成立的一个充分条件是

（A）存在一条直线
（B）存在一个平面

（C）存在一条直线
（D）存在一个平面

4．下列命题正确的有

① 用相关指数
来刻画回归效果，
越小，说明模型的拟合效果越好；

② 命题:“
”的否定
:“
”；

③ 设随机变量服从正态分布N(0, 1),若
，则
；

④ 回归直线一定过样本点的中心（
）。

A．1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

Ａ．
　 　　Ｂ．
　　　Ｃ．
　　　Ｄ．

6．设各项为正的等比数列
的公比
，且
成等差数列，则
的值为

A．
B.
C.
D.2

7．已知半径为5的球O被互相垂直的两个平面所截，得到两圆的公共弦长为4，若其中一圆的半径为4，则另一圆的半径为

A．
B．
C．
D．

8．函数
(其中
)的图象如右图所示，为了得到
的图象，可以将
的图象

A．向左平移
个单位长度 B．向左平移
个单位长度

C．向右平移
个单位长度 D．向右平移
个单位长度

9．某程序框图如图所示，现输入下列四个函数：
，

，
，

则输出的函数是

A．
B．

C．
D．

10.航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼-15飞机准备着舰.如果甲、乙两机必须相邻着舰，而甲、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有

A．36种 B.24种 C.16种 D. 12种

11．已知函数
在区间(0,1)内任取两个实数p,q，且p≠q，

不等式
恒成立，则实数的取值范围为

A．
B．
C．
D．

12．如图，已知双曲线
的左右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=4，P是双曲线右支上的一点，F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|=1,则双曲线的离心率是

A． 3 B． C．
D．

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13 已知
，则
的展开式中的常数项是 （用数字作答）.

14.在
中，
，
,则
=______________.

15.设
满足约束条件
若目标函数

的最大值是12，

则
的最小值是

16.已知函数
，当
时，给出以下五个结论：

①
； ②
； ③
；

④
； ⑤当
时，

其中正确的是 .

三、解答题：（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17．（本小题满分12分）已知等差数列{
}满足
，
.

（I）求数列{
}的通项公式；

（II）求数列
的前项和．

18．（本小题满分
分）低碳生活，从“衣食住行”开始．在国内一些网站中出现了“碳足迹”的应用，人们可以由此计算出自己每天的碳排放量，如家居用电的二氧化碳排放量（千克）＝耗电度数
，家用天然气的二氧化碳排放量（千克）＝天然气使用立方数
等．某校开展“节能减排，保护环境，从我做起！”的活动，某中学组织高一（1）班同学利用假期在东城、西城两个小区进行了逐户的关于“生活习惯是否符合低碳排放标准”的调查．生活习惯符合低碳观念的称为“低碳家庭”，否则称为“非低碳家庭”．经统计，这两类家庭占各自小区总户数的比例数据如下：

东城小区

低碳家庭

非低碳家庭



西城小区

低碳家庭

非低碳家庭



比例







比例







 （Ⅰ）如果在东城、西城两个小区内各随机选择2个家庭，求这个家庭中恰好有两个家庭是“低碳家庭”的概率；

（Ⅱ）该班同学在东城小区经过大力宣传节能减排的重要意义，每周“非低碳家庭”中有
的家庭能加入到“低碳家庭”的行列中．宣传两周后随机地从东城小区中任选
个家庭，记
表示
个家庭中“低碳家庭”的个数，求
和
．

19．（本题满分12分）如图，
是以
为直径的圆
上异于
的点，平面
平面
，
，
，
分别是
的中点，记平面
与平面
的交线为直线
．

（Ⅰ）求证：直线
平面
；

（Ⅱ）直线
上是否存在点
，使直线
分别与平面
、直线
所成的角互余？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．

20．(本小题满分12分) 已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点F(1，0)，C1的中心和C2的顶点都在

坐标原点，过点M(4，0)的直线l与抛物线C2分别相交于A ，B两点．

（Ⅰ）如图所示，若
，求直线l的方程；

（Ⅱ）若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C2上，直线l与椭圆C1有公共点，求椭圆C1的长轴长的最小值．

21．（本小题满分12分）已知函数

（Ⅰ）若曲线
在点
处的切线与直线
平行，求的值；

（Ⅱ）求证函数
在
上为单调增函数；

（Ⅲ）设，
，且
，求证：
．

请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.

如图，
是
的直径，弦
与
垂直，并与
相交于点，点为弦
上异于点的任意一点，连结
、
并延长交
于点
、
.

（Ⅰ）求证：、、、
四点共圆；

（Ⅱ） 求证：
.

23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy?中，曲线C1的参数方程为
（为参数）,M是C1上的动点，

P点满足
,P点的轨迹为曲线C2，

(Ⅰ)求C2的方程；

(Ⅱ)在以O为极点，x?轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线
与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求
.

24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数
，且
的解集为
．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若
，且
，求证：
．

参考答案

一．选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

C

C

D

A

B

D

C

D

A

A

B



二．填空题：13．560 14．
15．
16．④⑤

三．解答题：

17.解：（I）设等差数列
的公差为d，由已知条件可得

解得
故数列
的通项公式为
………………5分

（II）设数列
，即
，

所以，当
时，

=
所以
综上，数列
………12分

18．解：（1）设事件“个家庭中恰好有两个家庭是‘低碳家庭’”为， ………1分

则有以下三种情况：“低碳家庭”均来自东城小区，“低碳家庭”分别来自

东城、西城两个小区，“低碳家庭”均来自西城小区．

∴
．…6分

（2）因为东城小区每周有
的人加入“低碳家庭”行列，经过两周后，两

类家庭占东城小区总家庭数的比例如下：

小区

低碳家庭

非低碳家庭













………8分

由题意，两周后东城小区
个家庭中的“低碳家庭”的个数
服从二项分布，

即
………10分

∴
， ………11分

． ………12分

19（1）证明：
分别为
中点，

又

……………………………2分

又

，………………4分

又

………………………………6分

（2）解：以
为坐标原点，
所在的直线为轴，
所在的直线为轴，过
垂直面
的直线为轴建立空间直角坐标系

,

----------8分

设
，面
的法向量为

则
即

令
得到面
的一个法向量为
…………………10分

，

依题意得

……12分

20.解：（1）由题知抛物线方程为
。 ………………………2分

设直线方程为
，并设
因为
，所以
联立
，可得
，有
………………………4分

解得：
，所以直线方程为：
----------…6分

（2）可求得对称点
， ………………………8分

代入抛物线中可得：
，直线
方程为
，考虑到对称性不妨取
,椭圆设为
联立直线和椭圆并消元整理
， ………………10分

因为椭圆与直线有交点，所以
，

即：
，解得

即
?∴长轴长的最小值为
. ……………12分

21．解：(1)
=
(
)，
(
)，

因为曲线
在点
处的切线与直线
平行，

，解得
。---------------------4分

(2)
=
(
)

所以函数
在
上为单调增函数；---------------8分

(3)不妨设
，则
． 要证
．

只需证
, 即证
．

只需证
．设
．

由(2)知
在
上是单调增函数，又
，

所以
．即
，即
．

所以不等式
成立.-------------------12分

23.解 (1)连结
，则
，又
，

则
，即
，

则、、、
四点共圆. -----------------(5分)

(2)由直角三角形的射影原理可知
，

由
与
相似可知：
，

，
，

则
，即
. ---------------(10分)

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

（I）设P(x,y),则由条件知M(
).由于M点在C1上，所以

从而
的参数方程为
（为参数）------------5分

（Ⅱ）曲线
的极坐标方程为
，曲线
的极坐标方程为
.

射线
与
的交点的极径为
，

射线
与
的交点的极径为
.所以
.------------10分

24. 解：（Ⅰ）因为
，

所以
等价于
，…2分

由
有解，得
，且其解集为
． …4分

又
的解集为
，故
．…（5分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

，又
，…7分∴
≥
=9． …9分

(或展开运用基本不等式)

∴
????????????????????????????????…．（10分）