偃师市高级中学南院2015届高三上学期第一次月考

数学（文）试题

一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集为R，A＝{x|y＝}，B={x||x－2|<1},则(?RA)∩B＝

A． [1,2] B． (1,2] C． [0,3] D．(0,3)

2．复数的虚部为

A． －i B．i C．－1 D．1

3．设a＞0，且a≠1，则“函数y＝loga x在(0，＋∞)上是减函数”是“函数y＝(2－a)x3在R上是增函数”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．给定命题p：函数y＝ln [(1－x)(1＋x)]为偶函数；命题q：函数y＝为偶函数，下列说法正确的是

A．p∨q是假命题 B．(?p)∧q是假命题 C．p∧q是真命题 D．(?p)∨q是真命题

5．下列函数中，既是偶函数又在区间(1，2)上单调递增的是

A．y＝log2 |x| B．y＝cos 2x C．y＝ D．y＝log2 

6．已知f (x)＝x2＋sin(＋x)，f ′( x)为f (x)的导函数，则f ′( x)的图像是

A B C D

7．函数f (x)＝(x－2)(ax＋b)为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则f (2－x)＞0的解集为

A．{x|x＞2或x＜－2} B．{x|－2＜x＜2} C．{x|x＜0或x＞4} D．{x|0＜x＜4}

8．若x∈(e－1，1)，a＝ln x，b＝()ln x，c＝e ln x，则a，b，c的大小关系为

A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c

9．若变量x，y满足|x|－ln ＝0，则y关于x的函数图象大致是

10．若函数f (x)＝kax－a－x (a＞0且a≠1)在(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，则g (x)＝

loga(x＋k)的图象是

11．已知函数f (x)＝，则f (2014)＝

A．2014 B． C．2015 D．

12．设函数f (x)＝，若函数g (x)＝f (x)－k存在两个零点，则实数k的取值范围是

A．k＜0 B．0＜k＜1 C．0＜k≤1 D．k＞1

，log2 x－a≥0”，命题q： “存在x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”．若“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是 .

15．设f (x)＝，若f (x)＝3，则x＝__________.

16．若函数f (x)＝ln(x2＋ax＋1)的值域为R，则实数a的取值范围是__________

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosA＝．

（Ⅰ）求2sin2 ＋cos2(B＋C)；

（Ⅱ）若a＝，求△ABC面积的最大值．

18．（本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a≥b，sin A＋cos A＝2sin B．

（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）求的最大值．

19．（本小题满分12分）

为了研究玉米品种对产量的影响，某农科院对一块试验田种植的一批玉米共10000 株的生长情况进行研究，现采用分层抽样方法抽取50株作为样本，统计结果如下：

高茎

矮茎

合计



圆粒

11

19

30



皱粒

13

7

20



合计

24

26

50



（Ⅰ）现采用分层抽样的方法，从该样本所含的圆粒玉米中取出6株玉米，再从这6株玉米中随机选出2株，求这2株之中既有高茎玉米又有矮茎玉米的概率；

（Ⅱ）根据对玉米生长情况作出的统计，是否能在犯错误的概率不超过0.050的前提下认为玉米的圆粒与玉米的高茎有关？(下面的临界值表和公式可供参考：

P(K2≥k0)

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001



K0

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828




，其中
)

20.（本小题满分12分）

如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，现将△ADE沿直线DE翻折成△A＇DE，使平面A＇DE⊥平面BCDE，F为线段A＇D的中点.

（Ⅰ）求证：EF∥平面A＇BC；

（Ⅱ）求三棱锥A＇—BCD的体积.

21．（本小题满分12分

如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3， H是CF的中点.

（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；

（Ⅱ）求三棱锥H—BDF的体积.

选做题：请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题纸上将所选题号后的方框涂黑。

22. (本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲

如图，直线PA为圆O的切线，切点为A，直径BC⊥OP，连接AB交PO于点D.

（Ⅰ）证明：PA＝PD；

（Ⅱ）求证：PA·PC＝AD·OC.

23. (本小题10分）在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin (θ＋)，现以极点O为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）

（Ⅰ）写出直线l和曲线C的普通方程；

（Ⅱ）设直线l和曲线C交于A，B两点，定点P（－2，－3），求|PA|·|PB|的值．

24. 已知函数f (x)＝|x－3a|，(a∈R)

（Ⅰ）当a=1时，解不等式f (x)＞5－|2x－1|；

（Ⅱ）若存在x0∈R，使f (x0)＋x0＜6成立，求a的取值范围．

偃师高中南院15级第一次月考试题

文科数学参考答案

BDABA ACBBC DC

13、
14 {a|
} 15
16

19. 解：(1) 依题意，取出的6株圆粒玉米中含高茎2株，记为
，矮茎4株，记为
， ..……………2分

从中随机选取2株的情况有如下15种：
, ..……………4分

因此能在犯错误的概率不超过0.050的前提下认为玉米的圆粒与玉米的高茎有关. 　　　　　　　　　　 ..……………12分

20（1）证明：取
的中点
，连接
, 则
∥
,

且
=
,又
∥
,且
=
，从而有

EB，所以四边形
为平行四边形，

故有
//
， ……………4分

又

平面
，

平面
，

所以
∥平面
． ………………6分

（2）过
作
，
为垂足，

因为平面
⊥平面
，且面

平面

=
，所以
⊥平面
，………………8分

，又
，

所以
………………12分

21解：（1）证明：因为四边形
是菱形，

所以
.

因为平面
平面
，且四边形
是矩形，

所以
平面
， ……………3分

又因为
平面
，

所以
.

因为
，所以
平面
. ……………5分

（2）解：取BC得中点P，连接DP.

因为四边形ABCD是菱形，且
，

所以
为等边三角形，所以DP
BC，

且
. ……………7分

又由（1）知
且
，

所以
，又
,

所以
，

, ……………10分

所以
.……………12分

24(Ⅰ)
(Ⅱ)
.