桂林市第十八中学2015届高三上学期第一次月考数学（理）试题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

2.已知复数

，且
为实数，则

A.
B. C.
D.

4.执行如图所示程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数的个数为

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A. 64 B. 72

C. 80 D.112

9.函数
的零点的个数为

A． 1 B． 2 C． 3　　 　 D． 4

11.已知两条直线
和
(其中
)，
与函数
的图像从左至右相交于点，，
与函数
的图像从左至右相交于点
，.记线段
和
在轴上的投影长度分别为
.当变化时，
的最小值为

A. B.
C.
D.

二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）

16.已知函数
定义在上，对任意的
，
已知
，

则

三.解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17
. 在△ABC中，已知
.

(1)求角的大小；

(2)若
，求的取值范围.

18（12分）. 数列
满足

(1)求数列
的通项公式;

(2)求数列
的前项和
.

19.（12分）2013年第三季度，国家电网决定对城镇居民民用电计费标准做出调整，并根据用电情况将居民分为三类: 第一类的用电区间在
，第二类在
，第三类在
（单位：千瓦时）. 某小区共有1000户居民，现对他们的用电情况进行调查，得到频率分布直方图如图所示.

⑴ 求该小区居民用电量的平均数；

⑵ 利用分层抽样的方法从该小区内选出10位居民代表，若从该10户居民代表中任选两户居民，求这两户居民用电资费属于不同类型的概率；

⑶ 若该小区长期保持着这一用电消耗水平，电力部门为鼓励其节约用电，连续10个月，每个月从该小区居民中随机抽取1户，若取到的是第一类居民，则发放礼品一份，设
为获奖户数，求
的数学期望
与方差
.

20（12分）.如图,四棱锥
中,底面
是矩形,
⊥底面
,
点是
的中点,点在边
上移动.

(1)点为
的中点时,试判断
与平面
的位置关系,并说明由;

(2)求证:无论点E在BC边的何处,都有
;

(3)当
为何值时,
与平面
所成角的大小为

21（12分）.已知两定点
动点满足
,由点向轴作垂线段

垂足为
点
满足
,点
的轨迹为
.

(1)求曲线C的方程;

(2)过点
作直线
与
交于
两点,点
满足
(
为原点),求四边形

面积的最大值,并求此时的直线
的方程.

22．（12分）已知函数
.

（1）讨论函数
在
上的单调性；

（2）当
时，曲线
上总存在相异两点，
，
，使得

曲线在、
处的切线互相平行，求证：
.

桂林市十八中12级高三月考一

数学（理科）答案

一、选择题（60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

C

B

C

D

C

C

B

C

B

C

D



二.填空题（20分）

15.
16. 1

三.解答题（70分）

18（12分）解: (1)

∵
,∴

,即

∴
是首项为
,公差为1的等差数列

∴
,即

19（12分）.解：(1) 平均数为

(2) 由频率分布直方图可知，采用分层抽样抽取10户居民，其中8户为第一类用户，2户为第二类用户，则从该10户居民中抽取2户居民且这两户居民用电资费不属于同一类型的概率为

(3) 由题可知，该小区内第一类用电户占80%，则每月从该小区内随机抽取1户居民，是第一类居民的概率为0.8，则连续10个月抽取，获奖人数
的数学期望
，方差

20.解：(1)当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行．

∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，∴EF∥PC.

又EF平面PAC，而PC?平面PAC，

∴EF∥平面PAC.

(2)证明：建立如图所示空间直角坐标系，则

P(0,0,1)，B(0,1,0)，

F(0，
，
)，D(
，0,0)，

设BE＝x(0≤x≤
)，则E(x,1,0)，

＝(x,1，－1)·(0，
，
)＝0，∴PE⊥AF.

(3)设平面PDE的法向量为m＝(p，q,1)，

由
，得m＝(
，
，1)．

而＝(0,0,1)，依题意PA与平面PDE所成角为45°，

所以sin45°＝＝，∴＝，

得BE＝x＝－或BE＝x＝＋>(舍)．

故BE＝－时，PA与平面PDE所成角为45°
.

21（12分）解(1)动点P满足
,点P的轨迹是以E F为直径的圆，

动点P的轨迹方程为
…………2分

设M(x,y)是曲线C上任一点，因为PMx轴，
，点P的坐标为（x，2y）

点P在圆
上，
，

曲线C的方程是
…………2分

(2)因为
，所以四边形OANB为平行四边形，

当直线
的斜率不存在时显然不符合题意；

当直线
的斜率存在时，设直线
的方程为
，
与椭圆交于
两点，由
得
…………2分

由
，得

………………2分

…………2分

令
，则
（由上可知
），

当且仅当
即
时取等号；

当
平行四边形OANB面积的最大值为

此时直线
的方程为
…………2分

22（12分）解：（1）函数
的定义域为
．

求导数，得
，

令
，解得
或
．

∵
，∴
，

∴当
时，
；当
时，
．

故
在
上单调递减，在
上单调递增．………………6分

（2）由题意得，当
时，
且
，

即

∴
．

整理得

令
所以
在
上单调递减，所以
在
上的最大值为

…………6分

11.设
，

则
，
，
，
，

则
，分子与分母同乘以

可得
，

又
，

当且仅当
，即
时，“=”成立，

所以
的最小值为
.