2014—2015学年度第一学期开学检测

高 三 数 学 试 卷

（考试时间120分钟 满分150分）

第I卷 （选择题 共40分）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的的四个选项中,选出符合题目要求的一项）

（1）已知集合
，
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

（2）设
，则“
”是“
”的

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

（3）已知函数
，则下列结论正确的是

（A）
是偶函数 （B）
在
上是增函数

（C）
是周期函数 （D）
的值域为

（4）已知函数
，
. 若方程
有两个不相等的实根，

则实数
的取值范围是

（A）
（B）
（C）
（D）

（5）已知向量
的夹角为
，且
，
，则

（A）
（B） （C）
（D）

（6）函数
的零点个数为

（A） （B） （C）
（D）

（7）若将函数
的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，

则的最小正值是

（A）
（B）
（C）
（D）

（8）对于函数
，若存在非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有
，则称
为准偶函数. 下列函数中是准偶函数的是

（A）
（B）
（C）
（D）

第II卷 （非选择题 共110分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（9） 已知
，是虚数单位.若
与
互为共轭复数，则
.（10）设
，
，
，若
∥
，则
.

（11）已知函数
，则不等式
的解集为 .

（12）在
中，内角
所对的边分别是
. 已知
，
，

则
的值为 .

（13）已知菱形
的边长为，
，点
分别在边
上，

，
. 若
，则
的值为 .

（14）若集合
，且下列四个关系：

①
； ②
； ③
； ④
.

有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组
的个数是 .

三、解答题 （本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）

（15）（本小题13分）

已知函数
，
.

（Ⅰ）求
的最小正周期；

（Ⅱ）求
在
上的最小值和最大值.

（16）（本小题14分）

在
中，内角
所对的边分别是
. 已知
，
，
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求
的面积.

（17）（本小题13分）

某花店每天以每枝
元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝
元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.

（Ⅰ）若花店一天购进
枝玫瑰花，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：枝，
）的函数解析式；

（Ⅱ）花店记录了
天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：

日需求量

















频数



















① 假设花店在这
天内每天购进
枝玫瑰花，求这
天的日利润（单位：元）的平均数；

② 若花店一天购进
枝玫瑰花，以
天记录的的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，

【文科学生继续做】 求当天的利润不少于
元的概率.

【理科学生继续做】 求当天的利润
（单位：元）的分布列与数学期望.

（18）（本小题14分）

设函数
，
.

（Ⅰ）当
（为自然对数的底数）时，求
的极小值；

（Ⅱ）讨论函数
零点的个数.

（19）（本小题13分）

设函数
，
且
. 曲线
在点

处的切线的斜率为
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若存在
，使得
，求的取值范围.

（20）（本小题13分）

已知椭圆
：
（
）的焦距为，且过点
.

（Ⅰ）求椭圆
的方程和离心率；

（Ⅱ）设
（
）为椭圆
上一点，过点作轴的垂线，垂足为
. 取点
，连接
. 过点作
的垂线交轴于点，点是点关于轴的对称点.

试判断直线
与椭圆
的位置关系，并证明你的结论.

2014—2015学年度第一学期第一次练习

高 三 数 学 试 卷 答 案

（考试时间120分钟 满分150分）

第I卷 （选择题 共40分）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的的四个选项中,选出符合题目要求的一项）

（1）已知集合
，
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

解：

，
，选A.

（2）设
，则“
”是“
”的

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

解法一：按
的符号分类讨论

解法二：构造函数
，利用
在
上为增函数，选C.

（3）已知函数
，则下列结论正确的是

（A）
是偶函数 （B）
在
上是增函数

（C）
是周期函数 （D）
的值域为

解：作出
的图象，选D.

（4）已知函数
，
. 若方程
有两个不相等的实根，

则实数
的取值范围是

（A）
（B）
（C）
（D）

解：作出函数
的图象，易得

. 选B.

（5）已知向量
的夹角为
，且
，
，则

（A）
（B） （C）
（D）

解：
，
，
，

，
. 选D.

（6）函数
的零点个数为

（A） （B） （C）
（D）

解：令
，得
. 转化为
与
的交点个数，

画出它们的图象，知有两个交点. 选B.

（7）若将函数
的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，

则的最小正值是

（A）
（B）
（C）
（D）

解：

，
，

令
，再取
，得
，
.

当
时，得的最小正值是
. 选C.

（8）对于函数
，若存在非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有
，则称
为准偶函数. 下列函数中是准偶函数的是

（A）
（B）
（C）
（D）

解：由题设知
的图象关于直线
（非轴）对称，选D.

第II卷 （非选择题 共110分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（9）已知
，是虚数单位.若
与
互为共轭复数，则
.

解：
.

.

（10）设
，
，
，若
∥
，则
.

解：
，
，由题设知
，
，

.

（11）已知函数
，则不等式
的解集为 .

解法一：代数法

解法二：图象法，解集为
.

（12）在
中，内角
所对的边分别是
. 已知
，
，

则
的值为 .

解：由
及正弦定理得
，即
. 又
，故
.

所以
.

（13）已知菱形
的边长为，
，点
分别在边
上，
，

. 若
，则
的值为 .

解法一：以
为基底.