淮阳中学2015届高三上期第一次月考

理科数学试卷

一、选择题（本大题共12个小题，每题5分，共60分。每小题所给四个选项中，只有一个选项符合题目要求。）

1．已知集合
，则
(B)

A.
B

C．
D.

2．已知
，命题
，则( D )

A．
是假命题;

B．
是假命题;

C．
是真命题;

D.
是真命题;

3．已知f（x）是R上的偶函数，将f（x）的图象向右平移一个单位，得到一个奇函数的图象，若
( B )

A．1 B．0 C．—1 D．—1005.5

4．已知函数
是定义在R上的偶函数, 且在区间
单调递增. 若实数a满足
, 则a的取值范围是（　C　）

A．
B．
C．
D．

5．设
、
分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当
时,

.且
.则不等式
的解集是 （ D ）

A．（－3,0)∪(3,+∞) B．(－3,0)∪(0, 3)

C．(－∞ ,- 3)∪(3,+∞) D．(－∞,－ 3)∪(0, 3)

6.设函数
，
的零点分别为
，则(B )

A.
B. 0＜
＜1 C.1＜
＜2 D.

7．已知函数f(x)＝9x－m·3x＋m＋1对x∈(0，＋∞)的图像恒在x轴上方，则m的取值范围是(　C　)

A．2－2

8. 已知函数
,定义函数
给出下列命题:

①
; ②函数
是奇函数;③当
时,若
,
,总有
成立,其中所有正确命题的序号是（　D）

A．② B．①② C．③ D．②③

9已知函数
的图像恒过定点P，若角a的顶点与原点重合，

始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P。则
的值为

A .
B.
C.
D.

10. 已知函数
,若
,则
的取值范围是 （　D　）

A．
B．
C．
D．

11. 函数
为定义在
上的减函数，函数
的图像关于点（1,0）

对称，
满足不等式
，
，
为坐标原点，则当
时，
的取值范围为 （ D ）

A．
B．
C．
D．

12己知函数
，对
，使得
，

则b-a的最小值为(B)

. A
B．
C.
D.

填空题：本大题共4个小题，每题5分，共20分。请将答案填在答题卷的相应位置。

13.已知函数
对任意的
恒成立，则

.

14．已知函数

---2--

15．在
中，角
所对边长分别为
，若
，则
的最小值为

16. 已知函数

有下列4个命题：

①若
，则
的图象关于直线
对称；

②
与
的图象关于直线
对称；

③若
为偶函数，且
，则
的图象关于直线
对称；

④若
为奇函数，且
，则
的图象关于直线
对称.

其中正确的命题为___①②③④

三、解答题：17题10分，其它每题12分，共70分

17.（本小题满分10分）

已知函数

.

（1）求函数
的最小正周期；

（2）当
时，求函数
的取值范围.

17.解：（1）因为

,

所以函数
的最小正周期为
.

（2）
.

当
时，
，

所以当
，即
时，
；

当
，即
时，
；

故函数
的取值范围是
.

18．（本小题12分）函数
是定义在R上的偶函数，且对任意实数x，都有
成立．已知当
时，
．

（1）求
时，函数
的表达式；

（2）若函数
的最大值为
，在区间
上，解关于x的不等式
．

18解：（1）∵
，且
是R上的偶函数，∴
，

．

（2）由于函数是以2为周期，故只需考查区间
．

若
时，由函数
的最大值为
知
，即
，

当
时，则当
时，
有最大值，即
，舍去，

综上可得，
．

当
时，若
，则
，∴
，

若
，则
，∴
，

∴此时满足不等式的解集为
．

∵
是以2为周期的周期函数，

当
时，
的解集为
，

19．（12分）如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于E点，F，G分别为AD，BC的中点，AB=2，∠DAB=60°，沿对角线BD将△ABD折起，使得AC=
．

（1）求证：平面ABD⊥平面BCD；

（2）求二面角F﹣DG﹣C的余弦值．

19． （1）证明；在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，∴△ABD，△CBD为等边三角形，

∵E是BD的中点，∴AE⊥BD，AE=CE=
，

∵AC=
，∴AE2+CE2=AC2，

∴AE⊥EC，∴AE⊥平面BCD，

又∵AE?平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD；

（2）解：由（1）可知建立以E为原点，EC为x轴，ED为y轴，EA为z轴的空间直角坐标系E﹣xyz，

则D（0，1，0），C（
，0，0），F（0，
，
）G（﹣
，1，
），

平面CDG的一个法向量
=（0，0，1），

设平面FDG的法向量
=（x，y，z），
=（0，﹣
，
），
=（﹣
，1，
）

∴
，即
，令z=1，得x=3，y=
，

故平面FDG的一个法向量
=（3，
，1），

∴cos
=
=
，

∴二面角F﹣DG﹣C的余弦值为﹣
．

20）（本小题满分12分）

设抛物线
的焦点为
，准线为
，
，已知以
为圆心，

为半径的圆
交
于
两点；

（1）若
，
的面积为
；求
的值及圆
的方程；

（2）若
三点在同一直线
上，直线
与
平行，且
与
只有一个公共点，

求坐标原点到
距离的比值。

【解析】（1）由对称性知：
是等腰直角
，斜边

点
到准线
的距离

圆
的方程为

（2）由对称性设
，则

点
关于点
对称得：

得：
，直线

切点

直线

坐标原点到
距离的比值为
。（lfx lby）

21. 已知函数
为常数)是实数集
上的奇函数，函数

在区间
上是减函数．

（Ⅰ）求实数
的值；

（Ⅱ）若
在
上恒成立，求实数t的最大值；

（Ⅲ）若关于
的方程
有且只有一个实数根，求
的值．

21．解：（Ⅰ）
是实数集
上奇函数，

，即
……2分．

将
带入
，显然为奇函数． ……3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，

要使
是区间
上的减函数，则有
在
恒成立，
，所以
． ……5分

要使
在
上恒成立，

只需
在
时恒成立即可．

(其中
)恒成立即可． ………7分

令
，则
即

，所以实数的最大值为
………9分

（Ⅲ）由（Ⅰ）知方程
，即
，

令

当
时，
在
上为增函数；

当
时，
在
上为减函数；

当
时，
． ………………11分

而

当
时
是减函数，当
时，
是增函数，

当
时，
． ………………12分

只有当
，即
时，方程有且只有一个实数根．

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卷上把所选题目对应的题号涂黑．【选修4-1：几何证明选项】

22．（10分）（2014?洛阳三模）如图，已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，以C为切点的切线交AB的延长线于点P，AM⊥CP，垂足为M，CD⊥AB，垂足为D．

（1）求证：AD=AM；

（2）若⊙O的直径为2，∠PCB=30°，求PC的长．

【选修4-4：坐标系与参数方程】

23．已知直线l的参数方程为
，（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ﹣
）．

（1）求直线l的参数方程化为普通方程，将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）求圆C上的点到直线l距离的取值范围．

【选修4-5：不等式选项】

24．已知函数f（x）=2|x+1|﹣|x﹣3|

（1）求不等式f（x）≥5的解集；

（2）当x∈[﹣2，2]时，关于x的不等式f（x）﹣|2t﹣3|≥0有解，求实数t的取值范围．

　22． （1）证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCD=90°，

∵CD⊥AB，

∴∠ABC+∠BCD=90°，

∴∠ACD=∠ABC，

∵以C为切点的切线交AB的延长线于点P，

∴∠MCA=∠ABC=∠ACD，

∵∠AMC=∠ADC=90°，AC=AC，

∴△AMC≌△ADC，

∴AD=AM；

（2）解：∵∠PCB=30°，以C为切点的切线交AB的延长线于点P，

∴∠PAC=∠PCB=30°，

在Rt△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，

∴BC=1，∠ABC=60°，

∴∠BPC=30°，

∴∠BPC=∠BCP，BC=BP=1，

由切割线定理得PC2=PB?PA=PB（PB+BA）=3，

∴PC=
．

【选修4-4：坐标系与参数方程】

23． 解：（1）由
（t为参数）得直线l的普通方程为

又∵
，

∴
，

∴
，即
；

（2）由
得圆心C（1，
），半径r=2．

∴圆心C到直线l的距离d=
．

直线l与圆C相离．

∴圆C上的点到直线l的距离的取值范围是
．

【选修4-5：不等式选项】

24、解：（1）f（x）=2|x+1|﹣|x﹣3|=
，由式f（x）≥5，可得
①，或
②，或
．

解①求得x≥3，解②求得 2≤x＜3，解③求得 x≤﹣10．

故不等式的解集为[2，+∞）∪（﹣∞，﹣10]．

（2）当x∈[﹣2，2]时，f（x）∈[﹣4，5]，∵关于x的不等式f（x）﹣|2t﹣3|≥0有解，

∴5﹣|2t﹣3|≥0，即﹣5≤2t﹣3≤5，求得﹣1≤t≤4，

故t的范围为[﹣1，4]．