伊川高中2014-2015学年上学期第一次月考

高三年级数学（文）试卷

时间：2014年9月1日

一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）

1. 已知集合A，B均为全集U＝{1,2，3,4}的子集，且?U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩?UB＝ (　 　)

A．{3}　　 B．{4}　　　　C．{3,4}　　 D．?

2. 若集合M＝{y|y＝3x}，集合S＝{x|y＝lg(x－1)}，则下列各式正确的是 (　 　)

A．M∪S＝M　　　　 B．M∪S＝S

C．M＝S　　　　 D．M∩S＝?

3. 下列函数中既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的函数是 (　 　)

A．f(x)＝sin x　　　 B．f(x)＝－|x＋1|

C．f(x)＝ln　　　 D．f(x)＝(2x＋2－x)

4. 如果a＝(1，k)，b＝(k,4)，那么“a∥b”是“k＝－2”的 (　 )

A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件

C．充分必要条件　　　 D．既不充分也不必要条件

5. 　已知条件p：x≤1，条件q：＜1，则綈p是q的 (　 　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．即不充分也不必要条件

6、已知直线
与曲线
相切，则
的值为 （ ）

（ A ）
( B )
( C )
( D )

7. 若集合A＝{x|x2－x－2＜0}，B＝{x|－2＜x＜a}，则“A∩B≠?”的充要条件是(　　 )

A．a＞－2　　 B．a≤－2　　　　C．a＞－1　　D．a≥－1

8. 函数f(x)＝＋的定义域为 (　 　)

A．(－3,0]　　　 B．(－3,1]　　　　

C．(－∞，－3)∪(－3,0]　　　 D．(－∞，－3)∪(－3,1]

9. 设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是 (　 　)

A．[－1,2]　　　 B．[0,2]　　　

C．[1，＋∞)　　　 D．[0，＋∞)

10. 设实数x和y满足约束条件则z＝2x＋3y的最小值为 (　 )

A．26　　 B．24　　　 C．16　　D．14

11．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)与抛物线y2＝8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|＝5，则双曲线的离心率为 (　 　)

A．2　　 B．2　　　 C．　　 D．

12. 已知函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋3)＝f(x＋1)且当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，则y＝f(x)与y＝log7x的图象的交点个数为 (　 　)

A．3　　 B．4　　　 C．5　　 D．6

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

13. 已知全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x≤3}，集合B＝{x|log2(x－2)＜1}，则A∩(?UB)＝________.

14．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)，若a⊥b，则9x＋3y的最小值为________．

15. 在等比数列{an}中，a1＋a2＝30，a3＋a4＝60，则a7＋a8＝________.

16、设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(3b－c)cos A＝acos C，S△ABC＝，则·＝________.

伊川县实验高中2014-2015学年上学期第一次月考

高三年级数学（文）答题卷

二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）

（13） （14）

（15） （16）

三、解答题(本大题共6个小题，共70分）

17. 正项数列{an}满足：a－(2n－1)an－2n＝0.

(1)求数列{an}的通项公式an；(2)令bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.

18. 已知向量a＝，b＝(sin x，cos 2x)，x∈R，设函数f(x)＝a·b.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)在上的最大值和最小值．

19. 如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，E，F分别是AB，PC的中点．

(1)求证：EF∥平面PAD；

(2)求证：EF⊥CD；

(3)若∠PDA＝45°，求证：EF⊥平面PCD.

20. 已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.

(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；

(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2时，求直线l的方程．

21．已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R)．

(1)求函数f(x)的单调递增区间；

(2)若对任意a∈[3,4]，函数f(x)在R上都有三个零点，求实数b的取值范围．

22. 已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.

(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；

(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．

高三第一次月考参考答案

一．选择题

1-5 AACBA 6-10 CCCDD 11-12 AD

二、填空题

13. {x|－1≤x≤2} 14. 6 15. 240 16. －1

三、解答题

17. 解　(1)由a－(2n－1)an－2n＝0得(an－2n)(an＋1)＝0，由于{an}是正项数列，则an＝2n.

(2)由(1)知an＝2n，故bn＝＝

＝，

∴Tn＝

＝＝.

18. [解]　f(x)＝·(sin x，cos 2x)

＝cos xsin x－cos 2x，(2分)

＝sin 2x－cos 2x

＝sin.(4分)

(1)f(x)的最小正周期为T＝＝＝π，

即函数f(x)的最小正周期为π.(6分)

(2)∵0≤x≤，

∴－≤2x－≤.(8分)

由正弦函数的性质，得

当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最大值1.

当2x－＝－，

即x＝0时，f(0)＝－，

当2x－＝，即x＝时，f＝，

∴f(x)的最小值为－.(11分)

因此，f(x)在上最大值是1，最小值是－.(12分)

19. 证明　(1)取PD的中点G，连接AG，FG.因为FG为△PCD的中位线，

所以FG∥CD，且FG＝CD，

又AE∥CD，且AE＝CD，

所以AE∥FG，且AE＝FG，

故四边形AEFG为平行四边形，所以EF∥AG.

又AG?平面PAD，EF?平面PAD，

所以EF∥平面PAD.

(2)因为PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，

所以PA⊥CD.在矩形ABCD中，AD⊥CD，

又PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD.

因为AG?平面PAD，所以CD⊥AG.

又EF∥AG，所以EF⊥CD.

(3)因为∠PDA＝45°，

所以△PAD为等腰直角三角形，

又AG为等腰直角△PAD斜边上中线，所以AG⊥PD，

又EF∥AG，所以EF⊥PD.由(2)，得EF⊥CD，

又PD∩CD＝D，所以EF⊥平面PCD.

20. 解　将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0化成标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.

(1)若直线l与圆C相切，则有＝2， 得a＝－.

(2)过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，

得 解得a＝－7或－1.

故所求直线方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.

21. 解　(1)因为f(x)＝－x3＋ax2＋b，

所以f′(x)＝－3x2＋2ax＝－3x.

当a＝0时，f′(x)≤0，函数f(x)没有单调递增区间；

当a＞0时，令f′(x)＞0，得0＜x＜.

故f(x)的单调递增区间为；

当a＜0时，令f′(x)＞0，得＜x＜0.

故f(x)的单调递增区间为.

综上所述，当a＝0时，函数f(x)没有单调递增区间；

当a＞0时，函数f(x)的单调递增区间为；

当a＜0时，函数f(x)的单调递增区间为.

(2)由(1)知，a∈[3,4]时，f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为(－∞，0)和，

所以函数f(x)在x＝0处取得极小值f(0)＝b，

函数f(x)在x＝处取得极大值f＝＋b，

由于对任意a∈[3,4]，函数f(x)在R上都有三个零点，

所以即解得－＜b＜0，

因为对任意a∈[3,4]，b＞－恒成立，

所以b＞max＝－＝－4，

所以实数b的取值范围是(－4,0)．

22. 解　(1)将消去参数t，

化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，

即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.

将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.

所以C1的极坐标方程为

ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.

(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.

由

解得或

所以C1与C2交点的极坐标分别为，.