仁怀市第一中学2015届高三年级第一次月考

数学理试题

一、选择题

1．设集合
，
，则( )

A.A
B B.A
B C.A
B D.A
B

2．已知复数
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

3．
是两个向量，
,且
,则
与
的夹角为（　　）

A．30° B.60° C.120° D.150°

4．已知数列
为等差数列，且
，则
的值为 （ ）

A．
B.
C.
D.

5．已知x,y满足条件
（
为常数），若目标函数
的最大值为8，则
=（ ）

A.
B.
C.
D.6

6．如图给出的是计算
的值的一个程序框图，

则判断框内应填人的条件是 （ ）

A．
B．

C．
D．

7．已知
，则tan
的值是（ ）

A．
B．
C．
D．

8．若二项式(
)
展开式的常数项为20，则
的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

9．已知抛物线
的准线与双曲线
交于A,B两点，点F为抛物线的焦点，若
为直角三角形，则双曲线的离心率是（ ）

A.
B.

C.2 D.3

10．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，

则该几何体的体积为（　　）

A.48 B.72

C.12 D.24

11．函数
的图象如图所示，且
在
与
处取得极值，给出下列判断：

①
；

②
；

③函数
在区间
上是增函数。

其中正确的判断是（ ）

A.①③ B.② C.②③ D.①②

12．函数
的图象大致是(　　)．

二、填空题

13．已知函数
的图像为曲线C，若曲线C存在与直线
垂直的切线，则实数
的取值范围是_______；

14．在
中，
，则
；

15．用1、2、3、4、5、6六个数组成没有重复数字的六位数，其中5、6均排在3的同侧，这样的六位数共有 个（用数字作答）．

16．如图，已知球
的面上有四点
，
平面
,

，
, ,则球
的表面积为 ．

三、解答题

1．设某地区
型血的人数占总人口数的比为
，现从中随机抽取3人.

（1）求3人中恰有2人为
型血的概率；

（2）记
型血的人数为
，求
的概率分布与数学期望.

2．在
中，角
所对的边分别是
，已知
.

（Ⅰ）若
的面积等于
，求
；

（Ⅱ）若
，求
的面积.

3．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的3个红球和3个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球。

（1）求取出的4个球中没有红球的概率；

（2）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；

（3）设
为取出的4个球中红球的个数，求
的分布列和数学期望。

4．如图，在四棱锥
中，
丄平面
，
丄
，
丄
，
，
，
.

（Ⅰ）证明：
丄
；

（Ⅱ）求二面角
的正弦值；

（Ⅲ）求三棱锥
外接球的体积.

5．已知椭圆
的离心率为
，过顶点
的直线
与椭圆
相交于两点
.

（1）求椭圆
的方程；

（2）若点
在椭圆上且满足
，求直线
的斜率
的值.

6．已知函数

(
,
为自然对数的底数).

(1)讨论函数
的单调性；

(2)若
，函数
在区间
，+
）上为增函数，求整数
的最大值.

7．（选做题）已知曲线
：
（
为参数），
：
（
为参数）．

（1）化
，
的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（2）若
上的点
对应的参数为
，
为
上的动点，求
中点
到直线
：
（
为参数）距离的最小值．

8．（选做题）已知函数
.(1)求
的取值范围,使
为常数函数.

(2)若关于
的不等式
有解,求实数
的取值范围．

参考答案

1．试题分析：由题知A=（1,2），B=（1,3），所以
，故选B.

考点：一元二次不等式解法，指数不等式解法，集合间关系与集合运算

2．试题分析：由题知
=
，|z|=
=1,所以

，故选D.

3．试题分析：由
知，
=
=0，所以
=-1，所以
=
=
，所以
与
的夹角为
，故选C.

4．试题分析：由等差数列的性质:下标和相等的两项和相等,得
,又
,所以有
,故有
=
;故选A．

5．试题分析：把目标函数转化为
表示的是斜率为
截距为
的平行直线系，当截距最大时，
最大，当过点
时，截距最大，
，解得
.

6．试题分析：由题知，本题的框图作用是
，其分母的通项为
，令
=2013，解得i=1007，由此知,i≤1007，循环，当i＞1007时，结束，故判断框内应填人的条件是
，故选C.

7．试题分析：由题中已知条件，并考虑到
，联立可解得
，
，故

8．试题分析：由二项式定理可知展开式中的常数项是
，所以
，因此答案为B。

考点：二项式定理

9．试题分析：抛物线的准线方程
，设
，焦点
，由于
为直角三角形，
，
，所以得
，
，

.

考点：双曲线的离心率.

10．试题分析：由三视图可知：该几何体是一个如图所示的三棱锥P-ABC，它是一个正四棱锥P-ABCD的一半，其中底面是一个两直角边都为6的直角三角形，高PE=4，所以该几何体的体积为
=24，故选D．

11．试题分析：
，由图可知
时，
为增函数知
，所以有
。又由
，所以有
，
，因为
，所以
，因为
所以有
,所以
,
开口向上，对称轴为
，所以函数
在区间
上是是增函数。

12．试题分析：
当
时
,函数为增函数,故排除C、D，又当x=2或4时，y=0，所以答案选A。

三、解答题参考答案

1．试题解析：（1）由题意，随机抽取一人，是
型血的概率为
，
3人中有2人为
型血的概率为
.（2）
的可能取值为0，1，2，3，

，
，
，

，

故
的概率分布为:

0

1

2

3



P













.

2．试题解析：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得

又
，得
，联立
解得

（Ⅱ）由题意得，
即
.

的面积

当
，由正弦定理得
，联立方程

解得
所以
的面积
，综上，
的面积为
.

3．试题解析：解：（1）设“取出的4个球中没有红球”为事件A。则
，

所以取出的4个球中没有红球的概率为
。

（2）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件B，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件C。由于事件B，C互斥，

且
，
。

所以，取出的4个球中恰有1个红球的概率为

（3）解：
可能的取值为0，1，2，3。

由（1）（2）知
，

，
，

所以，
的分布列为：

0

1

2

3



P











所以
的数字期望
。

4．试题解析：解：（Ⅰ）

（Ⅱ）过
作
交
于点
，连接
，则
为所求角

在三角形
中，

（Ⅲ）求三棱锥
外接球即为以
为棱的长方体

的外接球，长方体的对角线为球的直径

5．试题解析：(Ⅰ)因为e=
,b=1,所以a=2,故椭圆方程为
.

(Ⅱ)设l的方程为y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),M(m,n).联立
，解得 (1+4k2)x2+8kx=0,