八一中学2015届高三8月月考数学（理）试题

一、选择题(每题5分，10小题，共50分)

1. 已知集合A＝{x|x

A. a≤1 B. a<1 C.a≥2 D. a>2

2. 下列函数中，即是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（ ）

A. y=2x3 B. y=|x|+1 C. y=－x2+4 D. y=2-|x|

3．下列各组函数是同一函数的是（　　）

①
与
；

②f（x）=x与
；

③f（x）=x0与
；

④f（x）=x2﹣2x﹣1与g（t）=t2﹣2t﹣1．

A．

①②

B．

①③

C．

①④

D．③④





4命题“?x∈R，使x2+ax﹣4a＜0为假命题”是“﹣16≤a≤0”的（　　）

A．

充分不必要条件

B．

必要不充分条件



　

C．

充要条件

D．

既不充分又不必要条件



5．已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）的图象如图所示，f（
）=﹣
，则f（0）=（　　）

A．

﹣

B．

﹣

C．



D．





6．已知a＞b，函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象如图所示，则函数g（x）=loga（x+b）的图象可能为（　　）



















7．
在
上可导，且
，则
和
的大小关系是（ ）

A、
B、
C、
D、无法确定

8. 已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+1)＝f(x-1)且当x∈[-1,1]时，f(x)=x2，则y=f(x)与
的图象的交点个数为( )

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

9已知函数f（x）在R上满足f（1+x）=2f（1﹣x）﹣x2+3x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是（　　）

A．

x﹣y﹣2=0

B．

x﹣y=0

C．

3x+y﹣2=0

D．

3x﹣y﹣2=0



10．已知定义在R上的奇函数f（x），设其导函数f′（x），当x∈（﹣∞，0]时，恒有xf′（x）＜f（﹣x），则满足
的实数x的取值范围是（　　）

A．

（﹣1，2）

B．

（﹣1，
）

C．

（
，2）

D．

（﹣2，1）



二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

11．设
，若f（x）=3，则x=．

12．如果f（tanx）=sin2x﹣5sinx?cosx，那么f（5）=　．

13．已知命题p：?x∈[1，2]，x2﹣a≥0；命题q：?x∈R，x2+2ax+2﹣a=0，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为

14．已知函数
, 若函数
有3个零点，则实数m的取值范围是 ．

15．已知定义在R上的偶函数满足：f（x+4）=f（x）+f（2），且当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：

①f（2）=0；

②x=﹣4为函数y=f（x）图象的一条对称轴；

③函数y=f（x）在[8，10]单调递增；

④若方程f（x）=m在[﹣6，﹣2]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣8．

上述命题中所有正确命题的序号为　．

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤。

16．（本小题满分12分）已知集合A=
，B=
，

（1）当
时，求

（2）若
：
，
：
，且
是
的必要不充分条件，求实数
的取值范围。

17．（本小题满分12分）在
中，
、
、
分别是三内角
、
、
的对边，已知
．

（1）求角
的大小；

（2）若
，判断
的形状．

18．（12分）已知函数

（I）当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，求
的值；

（II）是否存在实数a，b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域、值域都是[a，b]，若存在，则求出a，b的值，若不存在，请说明理由．

19．（本小题满分12分）已知函数
的定义域为
，

（1）求
；

（2）当
时，求
的最小值．

21．（14分）已知二次函数h(x)=ax2+bx+c(其中c<3)，其导函数
的图象如图，f(x)=6lnx+h(x).

①求f(x)在x=3处的切线斜率；

②若f(x)在区间(m,m+
)上是单调函数，求实数m的取值范围；

③若对任意k∈[-1,1]，函数y=kx(x∈(0,6])的图象总在函数y＝f(x)图象的上方，求c的取值范围.

高三理科数学参考答案

17. 解：（1）
，又
，∴
.

（2）∵
，∴

∴
，

∴
，∴
，

∴
，∵
，∴
, ∴
为等边三角形．

……………12分

18

解：（I）∵

∴f（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上是增函数．

由0＜a＜b，且f（a）=f（b），可得0＜a＜1＜b且
．所以
．

（II）不存在满足条件的实数a，b．

若存在满足条件的实数a，b，则0＜a＜b

当a，b∈（0，1）时，
3在（0，1）上为减函数．

故
即
解得a=b．

故此时不存在适合条件的实数a，b．

当a，b∈[1，+∞）时，
在（1，+∞）上是增函数．

故
即

此时a，b是方程x2﹣x+1=0的根，此方程无实根．

故此时不存在适合条件的实数a，b．

当a∈（0，1），b∈[1，+∞）时，由于1∈[a，b]，而f（1）=0?[a，b]，

故此时不存在适合条件的实数a，b．

综上可知，不存在适合条件的实数a，b．

19. 解：（1）依题意，
，解得

（2）
=

又
，
，
.

①若
，即
时，
=
=
，

②若
，即

时，

当
即
时，
=





：20

解：（1）∵
，

∴由
=3得x=±a，

即切点坐标为（a，a），（﹣a，﹣a）

∴切线方程为y﹣a=3（x﹣a），或y+a=3（x+a）（2分）

整理得3x﹣y﹣2a=0或3x﹣y+2a=0

∴
，

解得a=±1，

∴f（x）=x3．

∴g（x）=x3﹣3bx+3（4分）

∵g′（x）=3x2﹣3b，g（x）在x=1处有极值，

∴g′（1）=0，

即3×12﹣3b=0，解得b=1

∴g（x）=x3﹣3x+3（6分）

（2）∵函数g（x）在区间[﹣1，1]上为增函数，

∴g′（x）=3x2﹣3b≥0在区间[﹣1，1]上恒成立，

∴b≤0，

又∵b2﹣mb+4≥g（x）在区间[﹣1，1]上恒成立，

∴b2﹣mb+4≥g（1）（8分）

即b2﹣mb+4≥4﹣3b，若b=0，则不等式显然成立，若b≠0，

则m≥b+3在b∈（﹣∞，0）上恒成立

∴m≥3．

故m的取值范围是[3，+∞）





②
由
，列表如下：

x

(0,1)

1

 (1, 3)

3

(3,+∞)





+

0

－

0

+



f(x)



极大值



极小值







所以f(x)的单调递增区间为（0，1）和（3，+∞）,f(x)的单调递减区间为(1,3).

要使f(x)在(m,m+
)上是单调函数，m的取值范围为：
.

③由题意知：
恒成立

在
恒成立.

令
.

令
则