普宁华侨中学2015届高三摸底考试试卷

数学（理科） 2014.8

说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择填空题）和第Ⅱ卷（解答题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第I卷 （选择、填空题 满分70分）

一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．

⒈已知集合
，
，则

A．
B．
C．
D．

⒉若复数
是纯虚数（
是虚数单位），则实数

A．
B．
C．
D．
或

⒊已知平面向量
，
，若
，则实数

A．
B．
C．
D．

⒋已知点
，
，则线段
的垂直平分线的方程是

A．
B．
C．
D．

⒌设
、
，若
，则下列不等式中正确的是

A．
B．
C．
D．

⒍如图1，
、
分别是正方体
中
、
上的动点（不含端点），则四边形
的俯视图可能是

A． B． C． D．

⒎已知函数
，则该函数是

A．偶函数，且单调递增 B．偶函数，且单调递减

C．奇函数，且单调递增 D．奇函数，且单调递减

⒏如右图，矩形
内的阴影部分由曲线

及直线
与
轴围成，向矩形
内随机投掷一点， 若落在阴影部分的概率为
，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

二．填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，满分30分）．

(一)必做题（9～13题）

⒐

（填“
”或“
” ）．

⒑在
中，
，
，
，则
．

⒒设
是R上的奇函数，
。 当
时，有
，则
．

⒓若
，
满足约束条件
，则
的最大值是 ．

⒔已知抛物线

的焦点与双曲线
的右焦点重合，则抛物线
上的动点
到直线
：
和

距离之和的最小值为 ．

(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题．）

⒕（坐标系与参数方程选做题）直线
与曲线
相交，截得的弦长为_ ．

⒖（几何证明选讲选做题）如图所示，过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于C，D两点，AB切⊙O于B，弦MN过CD的中点P．已知AC=4，AB=6，则MP·NP= 　　　 ．

第Ⅱ卷（解答题 满分80分）

三．解答题（本大题共6题，满分80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．

⒗（本小题满分12分）已知函数
.

(1)求
的最大值和最小正周期；(2)?若
，
是第二象限的角，求
.

⒘（本小题满分12分）2014年巴西世界杯的周边商品有80%左右为“中国制造”，所有的厂家都是经过层层筛选才能获此殊荣。甲、乙两厂生产同一产品，为了解甲、乙两厂的产品质量，以确定这一产品最终的供货商，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：

编号

1

2

3

4

5



x

169

178

166

175

180



y

75

80

77

70

81



已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；

当产品中的微量元素x,y满足x≥175，且y≥75时,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；

从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数
的分布列及其均值（即数学期望）．

⒙（本小题满分14分）如图2，直三棱柱
中，
，
，棱
，
、
分别是
、
的中点．

⑴ 求证：
平面
；⑵ 求直线
与平面
所成角
的正弦值．

⒚（本小题满分14分）如图3，已知两点
及
，点
在以
为焦点的椭圆
上，且
、
、
构成等差数列．

（1）求椭圆
的方程；

（2）动直线
与椭圆
有且仅有一个公共点，点
是直线
上的两点，且
．求四边形
面积
的最大值．

⒛（本小题满分14分）已知正项等比数列
（
），首项
，前
项和为
，且
、
、
成等差数列．

⑴ 求数列
的通项公式；⑵ 求数列
的前
项和
．

21.（本小题满分14分）已知函数
，曲线
经过点
，且在点
处的切线为
：
．

⑴ 求常数
，
的值；

⑵ 求证：曲线
和直线
只有一个公共点；

⑶ 是否存在常数
，使得
，
恒成立？若存在，求常数
的取值范围；若不存在，简要说明理由．

普宁华侨中学2015届高三摸底考试

数学（理科）参考答案及评分标准

一、选择题 BAAC DBCB

二、填空题

⒐＞ ⒑
⒒
⒓
⒔
⒕
⒖

三、解答题

⒗解：(1)∵

………………………4分

∴
的最大值为2,……5分，最小正周期为
………6分

(2)由(1)知,

所以
,即
………………………8分

又
是第二象限的角,所以
……10分

所以
………12分

⒘解：（1）乙厂生产的产品总数为
；………….2分

（2）样品中优等品的频率为
，乙厂生产的优等品的数量为
；…………4分

（3）
， ………..5分

，………….8分

的分布列为

0

1

2













 ……………….11分

均值
………………….12分

⒙证明与求解：⑴
，
底面，
……1分，
，
……2分，

∵
，
，
，

∴
平面
……3分，
……4分，

又∵
，∴
平面
……6分

⑵（方法一）以C为原点，CA、CB、CC1在直线分别为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系，

则
、
、
……7分，
、
……8分，

、
、
……10分，

设平面
的一个法向为
，则
……11分，

即
，取
……12分，

所以
……13分，
……14分。

（方法二）
，
，
……7分，

∴
，
，
……8分，

由⑴知
，
，∴
平面
……9分。

延长
到
，延长
到
，使
，连接
、
……10分，

在
中，
，
，
……11分，

∴
……12分，

∵
是平面
的法向量，由所作知
，从而
，

∴
……14分。

⒚解：（1）依题意，设椭圆
的方程为
．

构成等差数列，

，
．又
，
．

椭圆
的方程为
． ……………………4分

(2) 将直线
的方程
代入椭圆
的方程
中，得
． …………………………5分

由直线
与椭圆
仅有一个公共点知，
，

化简得：
．

，
， ……9分

（法一）当
时，设直线
的倾斜角为
，

则
，
，

，………11分

，
当
时，
，
，
．

当
时，四边形
是矩形，
． ……………………………13分

所以四边形
面积
的最大值为
． ………………………………14分

（法二）

，

．

．

四边形
的面积

， …………11分

．

当且仅当
时，
，故
．

所以四边形
的面积
的最大值为
． …………………………14分

⒛解：⑴依题意，设
……1分，
、
、
成等差数列，

∴
……2分，即

，

化简得
……4分，从而
，解得
……5分，

∵
（
）是单调数列，∴
，
……6分

⑵由⑴知
……7分，

……8分，

……9