南京市第九中学2015届高三期初调研考试

第Ⅰ卷（必做题 共160分）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．

1．若复数
对应的点在y轴的负半轴上（其中i是虚数单位），则实数a的值是. ．

2．命题“
，使得
”的否定是 ．

3．为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校200名教师中抽取20名教师，调查他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如右图．据此估计该校上学期200名教师中，使用多媒体进行教学次数在
内的人数为 ．

4．在等比数列
中，若
，则
．

5．与双曲线
有公共的渐近线，且经过点
的双曲线方程是 ．

6．右图是一个算法的流程图，则最后输出W的值是 ．

7．已知
，
，则
．

8．函数
的单调减区间为 ．

9．已知正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此三棱锥的体积为 ．

10．过点
的直线l与圆
交于A，B两点，当
最小时，直线l的方程为 ．

11．如图，测量河对岸的塔高AB时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得
，
，
m，并在点C测得塔顶A的仰角为
，则塔高
．

12．在等边三角形ABC中，点
在线段
上，满足
，若
，则实数
的值是 ．

13．已知函数
是奇函数，若
的最小值为
，且
，则b的取值范围是 ．

14．设
均为大于1的自然数，函数
，若存在实数m，使得
，则
．

二、填空题：本大题共6小题，共计70分．

15．（本小题满分14分）

在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
．

（1）求角A；

（2）若
，求
的单调递增区间．

16．（本小题满分14分）

如图，在三棱柱
中，已知
，点D，E分别为
的中点.

（1）求证：DE∥平面
；

（2）求证:
.

17．（本小题满分14分）

如图，有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD．在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角
始终为
(其中点P，Q分别在边BC，CD上)，设
．

（1）用t表示出PQ的长度，并探求
的周长l是否为定值；

（2）问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至多为多少平方百米？

18．（本小题满分16分）

如图，设点P是椭圆
上的任意一点(异于左、右顶点A，B)．

（1）若椭圆E的右焦点为F，上顶点为C，求以F为圆心且与直线AC相切的圆的半径；

（2）设直线
分别交直线
于点M，N，求证：
．

19．（本小题满分16分）

设数列
的前n项和为
，已知
，
，数列
是公差为d的等差数列，
．

（1）求d的值；

（2）求数列
的通项公式；

（3）求证：
．

20．（本小题满分16分）

已知函数
和函数
．

（1）若方程
在
上有两个不同的解，求实数m的取值范围；

（2）若对任意
，均存在
，使得
成立，求实数m的取值范围．

第Ⅱ卷（附加题 共40分）

21．（选做题）本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题作答．若多做，则按作答的前两题评分．

A．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，在△ABC中，CM是
的平分线，△AMC的外接圆O交BC于点N．若
，求证：
．

B．（本小题满分10分）选修4—2：矩阵与变换

已知
为矩阵
属于
的一个特征向量，求实数a，
的值及
．

C．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，圆C的方程为
，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为
（
为参数），判断直线l和圆C的位置关系．

D．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

设a，b，c为正数，证明：
．

（必做题）第22题，第23题，每题10分，共计20分．

22．（本小题满分10分）

将三个小球随机地投入编号为1，2，3，4的4个盒子中（每个盒子容纳的小球的个数没有限制），求：

（1）第1个盒子为空盒的概率；

（2）小球最多的盒子中小球的个数X的分布列和数学期望．

23．（本小题满分10分）

在如图所示的空间直角坐标系中，
，
，E，F分别是AD，BD的中点．

（1）求直线CD与平面CEF所成角的正弦值；

（2）设点M在平面ABC内，满足
平面CEF，试求出点M的坐标．

参考答案

1．
．

2．
，使得
．

3．100．

4．4．

5．
．

6．14．

7．
．

8．
．

9．
．

10．
．

11．30．

12．
．

13．
．

14．4．

15．（1）
； （2）

．

16．略．

17．（1）
； （2）
．

18．（1）
； （2）略．

19．（1）
； （2）
；

（3）略．

20．（1）
； （2）
．

21．A．略； B．
，
；

C．相交； D．略．

22．（1）
； （2）
．

23．（1）
； （2）
．