2014-2015学年度广东省普宁市普宁华侨中学高三摸底考试试题

文 科 数 学

参考公式：棱锥的体积公式：
．其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高．

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．已知全集
，集合
，
，那么
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．函数
是（ ）

A．最小正周期为
的偶函数 B．最小正周期为
的奇函数

C．最小正周期为
的偶函数 D．最小正周期为
的奇函数

3．
（其中
）的图象如图1所示，则函数
的图象是图2中的（ ）

图1 图2

4．已知
，i是虚数单位，且
则
的值是（ ）

A．2 B．
C．
D．

5．设
是两个不同的平面，
是一条直线，以下命题正确的是（ ）

A．若
则
B．若
则

C．若
则
D．若
则

6．设变量
满足约束条件：
，则
的最小值为（ ）

A．
B．
C．
D．

7．已知数列
的前
项和
，则
=（ ）

A．36 B．35 C．34 D．33

8．在
中，角
所对的边分别为
，若
，

，则
（ ）

A．
B．

C．
D．

9．若右边的程序框图输出的
是126，则条件①可为（ ）

A．
B．
C．
D．

10．设向量
，
，定义一运算：

已知
，
。点Q在
的图像上运动，且满足
（其中O为坐标原点），则
的最大值及最小正周期分别是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只需选做其中一题，两题全答的，只以第一小题计分．）

11．设平面向量
，则
．

12．某校共有学生2000名，各年级男、女学生人数如下表所示，已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二级女生的概率是0.19，现用分层抽样的方法（按年级分层）在全校学生中抽取100人，则应在高三级中抽取的学生人数为 .

高一级

高二级

高三级



女生

375

x

y



男生

385

360

z





13．已知函数
，则
．

★（请考生在以下二个小题中任选一题作答，全答的以第一小题计分）

14．（坐标系与参数方程选做题）以平面直角坐标系的原点为极点，
轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知圆
的极坐标方程是
，则它的圆心到直线
：
（
为参数）的距离等于 .

15．（几何证明选讲选做题）如右图，从圆
外一点
引圆

的切线
和割线
，已知
，
，

圆
的半径为
，则圆心
到直线
的距离为 ．

三、解答题（本部分共计6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请在指定区域内作答，否则该题计为零分．）

16．（本小题满分12分）

已知向量
，
，函数

（1）求函数
的最小正周期；

（2）在

中，
分别是角
的对边，且
，
，
，且
，求
的值．

17．（本小题满分12分）

某校从高三年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考

试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分

成六段：
，
，…，
后得到如图4的

频率分布直方图．

（1）求图中实数
的值；

（2）若该校高三年级共有学生640人，试估计该校高三年级

期中考试数学成绩不低于60分的人数；

（3）若从数学成绩在
与
两个分数段内的学

生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差

的绝对值不大于10的概率．

18．（本小题满分14分）

如图：
、
是以
为直径的圆上两点，

，
，
是
上一点，且
，将圆沿直径
折起，使点
在平面
的射影
在
上，已知
.

（1）求证：
平面
；

（2）求证：
平面
；

（3）求三棱锥
的体积．

19．（本小题满分14分）

设数列
的前
项和为
，
，且对任意正整数
，点
在直线
上．

⑴求数列
的通项公式；

⑵若
，求数列
的前
项和．

20． (本小题满分14分)

已知点
是中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的一个顶点，离心率为
，椭圆的左右焦点分别为
和
。

（Ⅰ）求椭圆方程； （Ⅱ）点M在椭圆上，求⊿MF1F2面积的最大值；

（Ⅲ）试探究椭圆上是否存在一点P，使
，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

21．（本小题满分14分）

已知函数

．

（1）当
时，求函数
的单调区间；

（2）若对于任意
都有
成立，求实数
的取值范围；

（3）若过点
可作函数
图象的三条不同切线，求实数
的取值范围．

2014-2015学年度广东省普宁市普宁华侨中学高三摸底考试文科数学参考答案

一．选择题（10小题，每小题5分，共50分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

A

A

D

 A

C

C

B

B

C





二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分20分）

11．
12．25 13．
14． 15．

三．解答题（本部分共计6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16．（本题满分12分）

解：（1）
……2分

………4分

∴函数
的最小周期
………5分

（2）

是三角形内角，∴
即：
………7分

∴
即：
． ………9分

将
代入可得：
，解之得：

∴
,

………11分

,∴
，
． ………12分

17．（本小题满分12分）

（1）解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1，

所以

．………………………………………………1分

解得
．……………………………………………………………………………………………2分

（2）解：根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为

．…………3分

由于该校高三年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高三年级数学成绩不低于60分的人数约为
人． …………………………………………………………………5分

（3）解：成绩在
分数段内的人数为
人，分别记为
，
．……………………6分

成绩在
分数段内的人数为
人，分别记为
，
，
，
．…………………7分

若从数学成绩在
与
两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
共15种．…………………………………………9分

如果两名学生的数学成绩都在
分数段内或都在
分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在
分数段内，另一个成绩在
分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10．

记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件
，则事件
包含的基本事件有：

，
，
，
，
，
，
共7种．……………………11分

所以所求概率为
．…………………………………………………………………………12分

18．(本题满分14分)

解：（1）证明：依题意：

…………………………2分

平面
∴

……………4分

∴
平面
．……………………5分

（2）证明：
中，
，
∴
…………………………6分

中，
，
∴
．…………………………7分

∴
． …………………………………………………………8分

∴


在平面
外 ∴
平面
．…………10分

（3）解：由题设知
，
,
……………11分

∴
………12分

平面
∴
．……14分

19．（本小题满分14分）

解：⑴因为点
在直线
上，所以
……1分，

当
时，
……2分，两式相减得

，即
，
……3分

又当
时，
，
……4分

所以
是首项
，公比
的等比数列……5分，

的通项公式为
……6分．

⑵由⑴知，
……7分，记数列
的前
项和为
，则

……8分，

……9分，两式相减得

……11分，

……13分，

所以，数列
的前
项和为
……14分．

20．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）设椭圆方程为
. 由已知，
-------2分

，
. 解得
-------4分

∴所求椭圆方程为
-----------------5分

（Ⅱ）令
，则
------7分

∵
，故
的最大值为
-----8分

∴当
时，
的最大值为
。-----9分

（Ⅲ）假设存在一点P, 使
，
∴
，---10分

∴⊿PF1F2为直角三角形，∴
① -------11分

又∵
② --------------12分

∴②2－①，得
∴
--------------13分

即
=5，但由（1）得
最大值为
，故矛盾，

∴不存在一点P, 使
--------------14分

21．(本题满分14分)

解：（1）当
时，
，得
．…1分

因为
，所以当
时，
，函数
单调递增；

当
或
时，
，函数
单调递减．

所以函数
的单调递增区间为
，