武功县5702中学2014届高三第八次练考数学（理）试题

本试卷分为I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.满分150分,考
试时间120分钟.

第I卷（选择题,共50分）

一、选择题(本大题共10小题,每题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求)

1．设集合
，集合
，则
（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

2．已知
是虚数单位，复数z满足：
，则
的值是( )

A．
B.
C.
D.

3．下列函数中，既是偶函数，又在区间
上是减函数的是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

4. 右图是函数
图象的一部分．为了得到这个函数的图象，只要将y=sinx(x∈R)的图象上所有的点

A．向左平移
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
，纵坐标不变

B．向左平移
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

C．向左平移
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
，纵坐标不变

D．向左平移
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

5．设
是不同的直线，
是不同的平面，有以下四个命题：

①若
，
，则
②若
，
，则
③若
，
，则

④若
，
，则
.其中真命题的序号为（ ）

A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④

6．已知不等式组
（其中
）表示的平面区域的面积为4，点
在该平面区域内，则
的最大值为( )

（A）9 （B）6 （C）4 （D）3

7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）

A．
B．

C．
D．

8．执行如图所示的程序框图，则输出的
为（ ）

（A）20 （B）14

（C）10 （D）7

9．已知偶函数
满足
，且当
时，
，则关于
的方程
在
上根的个数是（ ）

A.
个 B.
个 C.
个 D.

10．在空间直角坐标系中，定义：平面α的一般方程为：Ax＋By＋Cz＋D＝0(A，B，C，D∈R，且A，B，C不同时为零)，点
到平面α的距离为：
，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O到侧面的距离等于(??? )

A．
B．
C．
D．

第II卷（非选择题 共100分）

二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)

11．一个边长为10 cm的正方形铁片，把图中所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器．则这个容器侧面积S表示成x的函数为　 　．

12．在区间
和
上分别取一个数，记为
和
，则方程
，表示焦点在y轴上的椭圆的概率是 .

13．在区间［0，1］上给定曲线
，如图所示，若使图中的阴影部分的面积
与
之和最小，则此区间内的t=??????????。

14．在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为
，即
. 给出如下四个结论：

①2011∈[1]；②－3∈[3]；③Z=[0]∪ [1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”.

其中，正确的结论的个数是 ．

15．(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)

A.(不等式选做题)

若存在实数
使
成立，则实数
的取值范围_______

B(几何证明选做题)

如图：两圆相交于点
、
，直线
与
分别与两圆交于点
、
和
、
，
，则
.

C．(坐标系与参数方程选做题)

在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
(
为参数)，若以直角坐标系
的
点为极点，
轴正方向为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得直线
的极坐标方程为
．则直线
与曲线
交点的极坐标为 ．

三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)

16．(本小题满分12分)

在△
中，已知
，向量
，
，且
．

（1）求
的值；

（2）若点
在边
上，且
，
，求△
的面积．

17．(本小题满分12分)

在数列
中，若
（
，
，
为常数），则称
为
数列．

（1）证明：一个等比数列为
数列的充要条件是公比为
或
；

（2）若
数列
满足
，
，
，设数列
的前
项和为
．是否存在正整数

，使不等式
对一切
都成立？若存在，求出

的值；若不存在，说明理由．

18．(本小题满分12分)

如图，正方体
中，已知
为棱
上的动点.

（1）求证：
；

（2）当
为棱
的中点时，求直线
与平面
所成角的正弦值.

19．(本小题满分12分)

某公司生产产品A，产品质量按测试指标分为：指标大于或等于90为一等品，大于或等于
小于
为二等品，小于
为三等品，生产一件一等品可盈利50元，生产一件二等品可盈利
元，生产一件三等品亏损10元．现随机抽查熟练工人甲和新工人乙生产的这种产品各100件进行检测，检测结果统计如下：

测试指标















甲

3

7

20

40

20

10



乙

5

15

35

35

7

3



现将根据上表统计得到甲、乙两人生产产品A为一等品、二等品、三等品的频率分别估计为他们生产产品A为一等品、二等品、三等品的概率．

（1）计算新工人乙生产三件产品A，给工厂带来盈利大于或等于100元的概率；

（2）记甲乙分别生产一件产品A给工厂带来的盈利和记为X，求随机变量X的概率分布和数学期望．

20．(本小题满分13分)

已知椭圆
：
的右焦点为
，短轴的一个端点
到
的距离等于焦距.

（1）求椭圆
的方程；

（2）过点
的直线
与椭圆
交于不同的两点
，
，是否存在直线
，使得△
与△
的面积比值为
？若存在，求出直线
的方程；若不存在，说明理由．

参考答案

5．D【解析】①若
，
，则
与
包含直线与平面的所有关系，所以①错误；

②若
，
，则
，所以②正确；

③若
，
，则
或
，所以③错误；

④若
，
，则
，所以④正确；

故选

6 D

试题分析：由题意，要使不等式组表示平面区域存在，需要
，不等式组表示的区域如下图中的阴影部分，面积
，解得
，故选D.

7．D【解析】观察三视图可知，该几何体是圆锥，圆锥底半径为
，高为
．

如图所示是圆锥及其外接球的轴截面，
分别是圆锥底面中心和球心，设球半径为
．

由平面几何知识可得，
所以，
，选
．

8．A【解析】：根据程序框图可得：
，由此可知，所有
构成一个周期为5的周期数列，
时，
，此时循环结束，故输出20.

9．B【解析】：由题意可得，
.即函数
为周期为
的周期函数，又
是偶函数，

所以，在同一坐标系内，画出函数
，
的图象，观察它们在区间
的交点个数，就是方程
在
上根的个数，结合函数图象的对称性，在
轴两侧，各有
个交点，故选
.

10．B【解析】以底面中心O为原点建立空间直角坐标系
，则A(1，1，0)，B(－1，1，0)，P(0，0，2)，设平面PAB的方程为Ax＋By＋
Cz＋D＝0，将以上3个坐标代入计算得A＝0，B＝－D，
，所以－Dy－
Dz＋D＝0，即2y＋z－2＝0，
．故选B．

11．S=10
x（0＜x＜10） 【解析】白色的三角形的面积为
，正四棱锥的侧面积为S=4S△=10x（0＜x＜10）

12．
【解析】：本题为几何概型概率，测度为面积，分母为矩形，面积为8，分子为直线
在矩形中上方部分（直角梯形），因为面积直线
正好平分矩形，所以所求概率为

13．
【解析】面积
等于边长为t与
的矩形的面积去掉曲线
与x轴、直线x=t围成的面积，即
;面积
等于曲线
与x轴、x=t，x=1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为
)，即
．

所以阴影部分面积
，

由S′(t)=4t2-2t=4t(t-
)=0，得t=0或t=
．

经验证知，当t=
时，S最小．

14．3【解析】：
，
，真；
，
，假；显然③真；若
则
,
,则
,若
,则
,
，
,④真.

15. A
【解析】由
又因为存在实数
使
成立则
，则

B 3【解析】：由题设得，
，

，
.

C．
【解析】：求直线
与曲线
交点的极坐标，可先直线
与曲线
交点直角坐标..先根据
，消去参数
得
,注意范围：
.再根据

得直线
的方程：
，由
, 解得
. 所以交点的极坐标为