2015届河北省重点中学协作体高考摸底测试

数学（理科）试题

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题).本试卷共5页.满分150分.考试时间120分钟

注意事项：

1. 答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2. 考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效.

3. 选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0. 5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.

4. 做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑

5. 保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.参考公式：

祥本数据
的标准差 锥体体积公式

其中x为样本平均数 其中S为底面面积，h为高

柱体体积公式 球的表面积、体积公式

其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径

第I卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知全集U= {0,1,2,3,4,5},集合A= {0,2,4},B = {0，5},则
等于（ ）

A. {0} B. {2,4} C. {5} D. {1,3}

2. 在等差数列
中，a1+ a5 = 16,则a3等于（ ）

A.8 B. 4 C. -4 D. -8

3. 已知圆
的圆心在直线x+y= l上则D与E的关系是（D）

A. D+E=2 B. D+E = 1 C.D+E= -1 D.D+E= -2

4. 设P(x,y)是函数
图象上的点x + y的最小值为（ ）

A.2 B.
C.4 D.

5. 右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是（ ）

A．
B．
C．
D．

6．已知
则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 已知向量a = (l，2)，b= ( -1，0),若（
）丄a则实数
等于（ ）A. -5 B.
C.
D.5

8. 运行右图所示框图的相应程序,若输入a,b的值分别为
和
,则输出 M的值是（ ）

A.0 B.1 C. 2 D. -1

9. 设m,n是空间两条不同直线，
是空间两个不同平面，当
时,下列命题正确的是（ ）

A.若
，则
B.若
，则

C若
,则
D.若
，则

10. 已知平面区域
.在区域D1内随机选取一点P,则点P恰好取自区域D2的概率是（ ）

A.
B.
C.
D.

11. 已知函数 y = f (x) 是定义在R上的增函数，函数 y = f (x－1) 的图象关于点 (1, 0)对称. 若对任意的 x, y∈R，不等式 f (x2－6x + 21) + f (y2－8y) < 0 恒成立，

则当 x > 3 时，x2 + y2 的取值范围是（　 　）

A (3, 7) B (9, 25) C (13, 49) D (9, 49)

12.设等差数列
的前
项和为
，已知
，
，则下列结论正确的是 （ ）

A）
，
B）
，

C）
，
D）
，

第II卷（非选择题共90分）

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）

13．
展开式中
的系数为 (用数字作答).

14.设0为坐标原点，点M坐标为(2，1)，点N(x，y)满足不等式组：

则
的最大值为__________

15．下图甲是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图甲中从左向右第一组的频数为4000．在样本中记月收入在
，

,
的人数依次为
、
、……、
．图乙是统计图甲中月工资收入在一定范围内的人数的算法流程图，图乙输出的

（用数字作答）

16．下列说法：

①“
”的否定是“
”；

②函数
的最小正周期是

③命题“函数
处有极值，则
”的否命题是真命题；

④
上的奇函数，
时的解析式是
，则
时的解析式为
其中正确的说法是 　　　 。

三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）

设
的内角
的对边分别为
，且
，求：

（1）角
的值；

（2）函数
在区间
上的最大值及对应的x值．

18．（本小题满分12分）

如图，在底面是直角梯形的四棱锥P—ABCD中，
，
平面ABCD，PA=AB=BC=3，梯形上底AD=1。

（1）求证：
平面PAB；

（2）求面PCD与面PAB所成锐二面角的正切值；

（3）在PC上是否存在一点E，使得DE//平面PAB？若存在，请找出；若不存在，说明理由。

19.（本小题满分12分）某班同学利用寒假在三个小区进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，这两族人数占各自小区总人数的比例如下：

（1）从
三个社区中各选一人，求恰好有2人是低碳族的概率；

（2）在B小区中随机选择20户，从中抽取的3户中“非低碳族”数量为X，求X的分布列和期望EX.

20．（本小题满分12分）

设
是公差不为零的等差数列，
为其前
项和，满足
。

（1）求数列
的通项公式及前
项和
；

（2）试求所有的正整数
，使得
为数列
中的项。

21.（本题满分12分）已知椭圆C的中点在原点，焦点在x轴上，离心率等于
，它的一个顶点恰好是抛物线
的焦点．

(1)求椭圆C的方程;

(2)点P(2，3)，Q(2，-3)在椭圆上，A、B是椭圆上位

于直线PQ两侧的动点，

(i)若直线AB的斜率为
，求四边形APBQ面积的最大值;

(ii)当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．

22.（本小题12分）

已知函数
.

（1）求函数
的最小值；

（2）若
≥0对任意的
恒成立，求实数
的值；

（3）在（2）的条件下，证明：

.

数学试卷答案

一、选择题 BADBB DDCCC D A

二、填空题

13．10；14.
；15. 6000；16． ①④

三、

17.解：（1）sinA=2sinBcosC ∴sin（B-C）=0 ……………………（2分）

∴B=C ∵A=
∴B=
…………… ……………………（4分）

（2）
…………………………（5分）

∴
…………………………（8分）

即
时，f（x）达到最值值
…………………………（10分）

18．解：（Ⅰ）证明：由题意

………………………………… 4分

（Ⅱ）（法一）延长BA、CD交于Q点，过A作AH⊥PQ,垂足为H,连DH

由（Ⅰ）及AD∥BC知：AD⊥平面PAQ

∴ AD⊥PQ且AH⊥PQ

所以PQ⊥平面HAD，即PQ⊥HD.

所以∠AHD是面PCD与面PBA所成的二面角的平面角. …………… …………… 6分

易知
，所以

所以面PCD与面PAB所成二面角的正切值为
. ……………………………12分

19.解：（1）记这3人中恰好有2人是低碳族为事件A…………………………………2分

……………………………………… 6分

（2）在B小区中随机选择20户中，“非低碳族”有4户，
…8分

X

0

1

2

3



P











…………………………………………………………………………………………………10分

………………………………………12分

20．[解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。满分14分。

（1）设公差为
，则
，由性质得
，因为
，所以
，即
，又由
得
，解得
，
,
…………………………6分

(2) （方法一）
=
,设
，

则
=
, 所以
为8的约数…………………………8分

（方法二）因为
为数列
中的项，

故
为整数，又由（1）知：
为奇数，所以

经检验，符合题意的正整数只有
。。……………………………………………12分

21.解：(1）设椭圆
的方程为
，则
.

由
，得

∴椭圆C的方程为
. ……………………………………2分

(2)（i）解：设
，直线
的方程为
，

代入
，得

由
，解得
……………………………………3分

由韦达定理得

.

四边形
的面积

∴当
，
. …………………………………… 4分

（ii）解：当
，则
、
的斜率之和为0，设直线
的斜率为

则
的斜率为
，
的直线方程为

由
…………………………………………………………………6分

（1）代入（2）整理得

11分

同理
的直线方程为
，可得

∴

所以
的斜率为定值
.
…………………………………………………………………12分

22.解：（1）由题意
，

由
得
.

当
时,
；当
时，
.

∴
在
单调递减，在
单调递增. …………………………………3分

即
在
处取得极小值，且为最小值，

其最小值为
………………4分

（2）
对任意的
恒成立，即在
上，
.

由（1），设
，所以
.

由
得
.

易知
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，

∴
在
处取得最大值，而
.

因此
的解为
，∴
. ………………8分

（3）由（2）知，对任意实数
均有
，即
.

令

，则
.

∴
.……………………………………………………………………10分

∴

. ……………………12分