华东师大二附中2015届暑期练习（一）

数学试卷

一、填空题：（本大题满分56分，每小题4分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应的编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1．函数
的定义域为 .

2．如果
，
为第三象限角，则
．

3．设等差数列
的前
项之和
满足
，那么
．

4．设复数
，
，

，则
__________.

5．正方体

中，
分别是棱
的中点，则异面直线
与
所成的角等于__________.

6．在△
中，
的对边分别是
，且
是
的等差中项，则角
= .

7．若①
,②
,则同时满足①②的正整数
有 组.

8．如图，抛物线形拱桥的顶点距水面4米时，测得拱桥内水面宽为16米；当水面升高3米后，拱桥内水面的宽度为 _________米．

9．已知圆的方程是
，若以坐标原点
为极点，
轴的正半轴为极轴，则该圆的极坐标方程可写为 ．

10．已知数列
中,
,
，则当
取得最小值时
的值是 ．

11．设正四面体
的棱长为
，
是棱
上的任意一点，且
到面
的距离分

别为
，则
___ .

12．定义在
上的函数
同时满足性质：①对任何
，均有
成立；②对任何
，当且仅当
时，有
.则
的值为 .

13．对大于或等于
的自然数
的
次方幂有如下分解方式:

根据上述分解规律,则
, 若
的分解中最小的数是73,则
的值为 .

14．定义：对于各项均为整数的数列
，如果
(
=1，2，3，…)为完全平方数，则称数列
具有“
性质”；不论数
列
是
否具有“
性质”，如果存在数列
与
不是同一数列，且
满足下面两个条件：

（1）
是
的一个排列；

（2）
数列
具有“
性质”，则称数列
具有“变换
性质”．

给出下面三个数列：

①数列
的前
项和
；

②数列
：1，2，3，4，5；

③数列
：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11.

具有“
性质”的为 ；具有“变换
性质”的为 .

二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.

15．非零向量
，
，
，若向量
，则
的最大值为（ ）

A．
B．
C．
D．以上均不对

16．已知数列
的通项公式为
,其前
项和
,则双曲线
的渐近线方程为（　　）

A．
B．
C．
D．

17．已知
中，
,
，则角
的取值范围是（ ）

A．
. B．
. C．
D．

18．在平面斜坐标系
中
,点
的斜坐标定义为:“若
(其中
分别为与斜坐标系的
轴,
轴同方向的单位向量),则点
的坐标为
”.若
且动点
满足
,则点
在斜坐标系中的轨迹方程为 （　　）

A．
B．
C．
D．

三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤．

19．本小题满分12分（第1小题满分5分，第2小题满分7分）

已知函数

的最大值为2．

（1）求函数
在
上的值域；

（2）已知
外接圆半径
，
，角A，B所对的边分别是a，b，求
的值．

20．本题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）

设
，函数
的图像与函数
的图像关于点
对称．

（1）求函数
的解析式；

（2）若关于
的方程
有两个不同的正数解，求实数
的取值范围．

21．本小题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图1，
，
是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤，线段
和曲线段
分别是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤.为观光旅游的需要，拟过栈桥
上某点
分别修建与
，
平行的栈桥
、
，且以
、
为边建一个跨越水面的三角形观光平台
.建立如图2所示的直角坐标系，测得线段
的方程是
，曲线段
的方程是
，设点
的坐标为
，记
.（题中所涉及的长度单位均为米，栈桥和防波堤都不计宽度）

（1）求
的取值范围；

（2）试写出三角形观光平台
面积
关于
的函数解析式，并求出该面积的最小值

22．本小题满分16分（第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分）

已知椭圆
过点
，椭圆
左右焦点分别为
，上顶点为
，
为等边三角形.定义椭圆C上的点
的“伴随点”为
.

（1）求椭圆C的方程；

（2）求
的最大值；

（3）直线l交椭圆C于A、B两点,若点A、B的“伴随点”分别是P、Q,且以PQ为直径的圆经过坐标原点O.椭圆C的右顶点为D，试探究ΔOAB的面积与ΔODE的面积的大小关系,并证明.

23．本小题满分18分（第1小题满分4分，第2小题满分14分）

已知数列
，
满足：
．

（1）若
，求数列
的通项公式；

（2）若
，且
．

① 记
，求证：数列
为等差数列；

② 若数列
中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项
应满足的条件．

数学试卷参考答案及评分细则

一、填空题：（本大题满分56分，每小题4分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应的编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1．
； 2．
； 3．
； 4．
； 5．
； 6．
； 7．25； 8．8；

9．
； 10．6或7； 11．
； 12．0 ； 13．9； 14．①、②

二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.

15．B； 16．C； 17．C； 18．D．

三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤．

19．本小题满分12分（第1小题满分5分，第2小题满分7分）

解：（1）由题意，
的最大值为
，所以
．………………………2分

而
，于是
，
．…………………………………4分

在
上递增．在
递减，

所以函数
在
上的值域为
；…………………………………5分

（2）化简
得

．……………………………………………………7分

由正弦定理，得
，……………………………………………9分

因为△ABC的外接圆半径为
．
．…………………………11分

所以
…………………………………………………………………12分

20．本题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）

解：（1）设点
是函数
图像上任意一点，
关于点
对称的点为
，则
，
，于是
，
，………………2分

因为
在函数
的图像上，所以
，…4分

即
，
，

所以
．……………………………………………………6分

（2）令
，因为
，
，所以
，

所以方程
可化为
，…………………………………………8分

即关于
的方程
有大于
的相异两实数解．

作
，则
，………………………………………12分

解得
；所以
的取值范围是
．………………………14分

21．本小题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）

解：（1）由题意，得
在线段CD：
上，即
，

又因为过点M要分别修建与OA、OB平行的栈桥MG、MK，

所以
；.…………………………………………………………………2分.

；………………………4分

所以
的取值范围是
..………………………………………………6分

（2）由题意，得
，..…………………………………………8分

所以

则
，..……………………………10分

因为函数
在
单调递减，..………12分

所以当
时，三角形观光平台的面积取最小值为225平方米. ..………14分

22．本小题满分16分（第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分）

解：（1）由已知
，解得
,方程为
.·······················4分

（2）当
时，显然
，由椭圆对称性，只研究
即可，

设
（
），于是
···························································5分

（当且仅当
时取等号）··············································································8分

（3） 设
,则
;

1)当直线
的斜率存在时,设方程为
,

由
得:
；

有
①···································································10分

由以
为直径的圆经过坐标原点O可得:
；

整理得:
②

将①式代入②式得:
, ································································· 12分

又点
到直线
的距离

所以
·············································································14分

2) 当直线
的斜率不存在时,设方程为

联立椭圆方程得:
；

代入
得
；

,

综上:
的面积是定值

又
的面积也为
,所以二者相等. ·························································16分

23．本小题满分18分（第1小题满分4分，第2小题满分14分）

解：（1）当
时，有

．

又
也满足上式，所以数列
的通项公式是
．…………4分

（2）①因为对任意的
，有
，所以，

，

所以，数列
为等差数列．……………………………………………………8分

②设
（其中
为常数且
，

所以，
，

即数列
均为以7为公差的等差数列．…………………………………… 10分

设
．

（其中
为
中一个常数）

当
时，对任意的
，有
；……………………………… 12分

当
时，
．

（Ⅰ）若
，则对任意的
有

，所以数列
为递减数列；

（Ⅱ）若
，则对任意的
有
，所以数列
为递增数列．

综上所述，集合
．

当
时，数列
中必有某数重复出现无数次；

当
时，数列
均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一次，所以
数列
任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．………………………………………………………………………………… 18分