2015届河北省重点中学协作体高考摸底测试

数学（文科）试题

（满分150分，考试时间：120分钟）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟，注意事项：

1．第Ⅰ卷的答案填在答题卷方框里，第Ⅱ卷的答案或解答过程写在答题卷指定处，写在试题卷上的无效。

2．答题前，考生务必将自己的“姓名”、“班级”、和“考号”写在答题卷上。

3．考试结束，只交答题卷。

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填涂在答题卷相应位置上）

1．已知
，若
共线，则实数x=

A．
B．
C．1 D．2

2．命题：“
”的否定为

A．
B．

C．
D．

3．把函数
的图象向左平移
个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是

A．
B．
C．
D．

4数f (x)＝
＋3x的零点个数是

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

5已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线l的直线

(A) 只有一条，不在平面α内

(B) 有无数条，不一定在平面α内

(C) 只有一条，且在平面α内

(D) 有无数条，一定在平面α内

6
为非零向量“函数
为偶函数”是“
”的

A．充分不必要条件 B． 必要不充分条件

C．充要条件 D． 既不充分又不必要条件

7某几何体的三视图 (单位：cm) 如图所示，则此几何体的体积是

（A） 36 cm3 （
B） 48 cm3

（C） 60 cm3 （D） 72 cm3

8函数
，则y的取值范围是

A．
B．
C．
D．

9已知
是
内的一点，且
,
则
、
和
的面积分别为
；则
的最小值为

A．20 B．19 C．16 D．18

10.列
是首项为1，公比为
的等比数列，则
等于

A．-32 B．32 C．-64 D．64

11.外接圆的圆心为
，半径为
，
且
，则向量
在
方向上的投影为

A．
B．
C．
D．

12.已知数列
满足：
，用[x]表示不超过x的最大整数，则

的值等于

A.0 B.1 C.2 D.3

第II卷（非选择题共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷相应位置上）

13.
=

14已知
为等差数列，
，
为其前n项和，则使
达到最大值的n等于___________.

15某圆锥体的底面半径
，沿圆锥体的母线把侧面展开后可得到圆心角为
的扇形，则该圆锥体的体积是　　　　　　　　．

16若对任意m∈R，直线x＋y＋m＝0都不是曲线
的切线，则实数a的取值范围是____________．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17（本小题满分12分)

已知函数

①求函数
的最小正周期；

②在
中，
为内角
的对边，若

，求
的最大面积。

18（本小题满分12分）

一个三棱柱
的直观图和三视图如图所示（主视图、俯视图都是矩形，左视图是直角三角形），设
为线段
上的点．

（1）求几何体
的体积；

（2）是否存在点E，使平面
平面
，若存在，求AE的长．

19（本小题满分12分）

我省城乡居民社会养老保险个人年缴费分100，200，300，400，500，600，700，800，900，1000（单位元）十个档次，某社区随机抽取了50名村民，按缴费在100~500元，600~1000元，以及年龄在20~39岁，40~59岁之间进行了统计，相关数据如下：

（1）用分层抽样的方法在缴费100~500元之间的村民中随机抽取5人，则年龄在20~39岁之间应抽取几人？

（2）在（1）的条件下抽取的5人中，随机选取2人进行到户走访，求这2人的年龄都在40~59岁之间的概率。

（3）能否有95%的把握认为缴费的档次与年龄有关？

20.小题满分12分)

等差数列
的前n项的和为
，且

（1）求
的通项公式；

（2）若数列
满足
，且
设数列
的前n项和为
.

求证：
.

21（本题满分12分）

椭圆
：
的右焦点
，离心率为
，已知点
坐标是
，点
是椭圆
上的动点．

（1）求椭圆
的方程；

（2）求
的最大值及此时的
点坐标．

22. （本小题满分12分）设函数

（1）当
曲线
处的切线方程

（2）求函数的单调区间与极值；

（3）已知函数
有三个互不相同的零点0，
，且
。若对任意的
，
恒成立，求m的取值范围。

文科数学参考答案

一、选择题 BBCBC DCBCB CB

二、填空题

13.
；14.5；15．
；16．
；

三、解答题

17．解：①由已知

……………………………… 6分

②由①知
,即

又
∴

当且仅当
时，
…………………………………………12分

18．解：（Ⅰ）由题可知，三棱柱
为直三棱柱，
底面
，

且底面
是直角三角形,
,
，…………2分

三棱柱
的体积
…………4分

（Ⅱ）
三棱柱
为直三棱柱，
底面
，

，
，又
，

，
………………6分

又
平面
，
…………………9分

由
，
，
，得
平面
，

又
平面
，
平面
平面
． ……………12分

19（Ⅰ）设抽取
人，则
，
，所以在20~39岁之间应抽取2人.

…………………3分

（Ⅱ）记在缴费100~500元之间抽取的5人中，年龄20~39的两人为
，

年龄40~59 岁的三人为
， 所以随机抽取2人的所有情况有：

10种，其中年龄都在40~59岁之间有3种，故
……………………8分

（III）
，因为
，所以没有
的把握认为缴费档次和年龄有关. ………………………………………………12分

20. 解：1）
， 由

解得
又

所以
……………………………………………………… …………………4

2）

。。。。。。

叠加得

所以
………………………………………………………………… …………………9分

=
………………………12分

21.解析：（1）由题可得
，
，解得
，

则
，

椭圆
的方程为
； -----------------2分

（2）∵点
是圆
上的动点，∴
， -----------------3分

设椭圆的左焦点为
，依据椭圆的定义知，
， ----------------5分

∴
，

当点
是
延长线与椭圆的交点时，
取得最大值
，

∴
的最大值为
， -------------------7分

此时直线
的方程是
，

点
的坐标是方程组
的解，消去
得，
， -------------------9分

解得
，根据图形可知
，
， -------------------10分

此时的
点坐标为（
，
）． -------------------12分

22. 解：设函数
（Ⅰ）当
曲线
处的切线方程（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；（Ⅲ）已知函数
有三个互不相同的零点0，
，且
。若对任意的
，
恒成立，求m的取值范围。

解析 当
所以曲线
处的切线斜率为1. 又
，所以曲线
处的切线方程为
. …………………………………………………………………………2分

（2）解析
，令
，得到

因为
当x变化时，
的变化情况如下表：















+

0

-

0

+







极小值



极大值





………………………………4

在
和
内减函数，在
内增函数。

函数
在
处取得极大值
，且
=
………………5分

函数
在
处取得极小值
，且

=
……………………………………………………………………6分

（3）解析 由题设，

所以方程
=0由两个相异的实根
，故
，且
，解得
………………………………………………………………………8分

因为

若
，而
，不合题意……………………9分

若
则对任意的
有
………………………………10分

则
又
，所以函数
在
的最小值为0，于是对任意的
，
恒成立的充要条件是
,解得

综上，m的取值范围是
………………………………………………… 12分