赣州市2013—2014学年第一学期期末考试

高三文科数学试卷

一、选择题：（每小题只有一个正确答案，每小题5分，10小题，共计50分）

1．设全集
，集合
,集合
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．若复数
i
i
是实数
i是虚数单位
，则实数的值为（ ）

　 A．
B．
C． D．

3．直线
和直线
垂直，则实数的值为（ ）

A．1 B．0 C．2 D．1或0

4．一个几何体的三视图如右图所示，这个几何体的体积是（ ）

A．
B．

C．
D．

5．已知某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图（如图所示），则甲、乙两人得分的中位数之和是（ ）

A．62 B．63 C．64 D．65

6．若
为等差数列,
是其前项和,且S13 =
,则tan
的值为( )。

A．
B．
C．
D．

7．已知向量
，
，
，

则
（ ）

A．
B．
C．
D．

8．阅读如图所示的程序框图，输出的结果的值为（　　）

A．0 B．
C．
D．

9．下列有关命题的叙述错误的是 （ ）

A．对于命题

B．若“p且q”为假命题，则p，q均为假命题

C．“
”是
的充分不必要条件

D．命题“若
”的逆否命题为“若
”

10．已知
表示不超过实数的最大整数，
为取整数，
是函数
的零点，则
等于（ ）

A．5 B．4 C．3 D．2

二、填空题：（每小题5分，5小题，共计25分）

11．某校共有1200名学生，现采用按性别分层抽样的方法抽取

一个容量为200的样本进行健康状况调查，若抽到的男生

比女生多10人，则该校男生人数为 。

12．某所学校计划招聘男教师名,女教师名,和须满足约束条件

则该校招聘的教师最多是 名.

13．设函数
，若对任意实数，直线
都不是曲线
的切线，则的取值范围是 。

14．直线
过抛物线
的焦点，且与抛物线的交于A、B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到轴的距离是2，则此抛物线方程是 。

15.如果存在实数使不等式
成立，则实数
的取值范围是_________．

三．解答题：（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，正明过程和演算步骤）

16.（本小题满分12分）已知函数

（Ⅰ）求函数
的单调递增区间；

（Ⅱ）设△
的内角
对边分别为
，且
，若
，求
的值．

.

17．（本小题满分12分）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取
名学生作为样本，得到这
名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：

分组

频数

频率





10

0.25





24















2

0.05



合计



1





（Ⅰ）求出表中
及图中的值；

（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间
内的人数；

（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间
内的概率.

.

18.（本小题满分12分）在四棱锥
中，底面ABCD是矩形，PA=AD=4，

AB=2， PB=
，PD=
。E是PD的中点。

（1）PB ∥平面ACE

（2）求证：AE⊥平面PCD；

（3）求四面体PACE的体积

19．（本小题满分12分）设数列{an}的前n项和为Sn ，an与Sn 满足an+Sn =2（n∈N*）；

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）令bn = Sn +λSn+1 （n∈N*）；求使数列{bn}为等比数列的所有实数λ的值

20．（本小题满分13分）已知函数
的图象过点
，且在
处取得极值．

(1) 求实数
的值；

(2) 求
在
（为自然对数的底数）上的最大值.

21．（本小题满分14分）已知椭圆


的左右焦点分别是
，直

与椭圆
交于两点
且当
时，

M是椭圆
的上顶点，且△
的周长为6.

（1）求椭圆
的方程；

（2）设椭圆
的左顶点为A，直线
与直线：

分别相交于点
，问当变化时，以线段

为直径的圆被轴截得的弦长是否为定值？若是，

求出这个定值，若不是，说明理由

高三文科数学答案

一、选择题（本大题共10题，每小题5分，共5分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

A

C

A

D

B

B

C

C

D

D



二、填空题：

11 630 12 10 13 a ＜1／3 14 y=8x 15

. 17. 解：（Ⅰ）由分组
内的频数是
，频率是
知，
，

所以
. ……………………………………………………………2分

因为频数之和为
，所以
，
. ……………3分

. ……………………………………………………4分

因为是对应分组
的频率与组距的商，所以
. …6分

（Ⅱ）因为该校高三学生有240人，分组
内的频率是
，

所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为
人. …8分

（Ⅲ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有
人，

设在区间
内的人为
，在区间
内的人为
.

则任选人共有

，
15种情况， ……10分

而两人都在
内只能是
一种， ………………………………11分

所以所求概率为
. ………………………12分

19．解：（1）令n＝1，有2 a1＝2得 a1＝1，

由an+1+Sn+1＝2，an+Sn＝2，得：2an+1-an＝0（n∈N*），

∴
＝
，∴{ an}是以1为首项，
为公比的等比数列，∴an＝
；

（2）由（1）知Sn＝2
，

∴
（n∈N*），b1＝
，b2＝
，b3＝
，

∵{ bn}为等比数列，∴
，解得λ＝ -1或λ＝ -2，

当λ＝ -1时，bn＝ -
，{ bn}为等比数列，

当λ＝-2时，bn＝ -2，{ bn}为等比数列；

综上，使数列{ bn}为等比数列的实数λ的值为-1或-2。

20.解：（1）当
时，
， ……………………………………1分

由题意得：
，即
， …………………………………3分

解得：
。 …………………………………5分

（2）由（1）知：

①当
时，
，

解
得
；解
得
或

∴
在
和
上单减，在
上单增，

由
得：
或
，………………………………………6分

∵　
，

∴
在
上的最大值为. ……………………………………………………8分

②当
时，
，

当
时，
；当
时，
在
单调递增；

∴
在
上的最大值为。 ……………………………………………………10分

∴当
时，
在
上的最大值为； ……………………………………11分

当
时，
在
上的最大值为. ……………………………………12分

21.解：（1）当
时，直线的倾斜角为
，所以：
…………3分

解得：
， …………………………………………………………5分

所以椭圆方程是：
；…………………………………………………………6分

（1） 当
时，（2） 直线
的方程为：
，（3） 此时，（4）
点的坐标（5） 分别是
，（6） 又点坐标（7） 是
，（8） 由图可以得到
两点坐标（9） 分别是
，（10） 以
为直径的圆过右焦点，（11） 被轴截得的弦长为6，（12） 猜测当变化时，（13） 以
为直径的圆恒过焦点
，（14） 被轴截得的弦长为定值6，（15） ………………………………………………………………8分

证明如下：

设点
点的坐标分别是
，则直线
的方程是：
，

所以点的坐标是
，同理，点
的坐标是
，…………………9分

由方程组
得到：
，

所以：
，……………………………………………11分

从而：

=0，

所以：以
为直径的圆一定过右焦点
，被轴截得的弦长为定值6.……………13分