2013年台州市四校联考高三数学（文科）试卷

2013年11月

本试题卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟． 请考生将所有试题的答案写在答卷上．

参考公式：

球的表面积公式 柱体的体积公式

球的体积公式 其中
表示柱体的底面积，
表示柱体的高

台体的体积公式

其中表示球的半径

锥体的体积公式 其中
分别表示台体的上、下底面积，

表示台体的高

其中
表示锥体的底面积，
表示锥体的高 如果事件
互斥，那么

第I卷(选择题 共50分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合
，则
等于 （ ▲ ）

A．
B.

C．
D.

2．“cos x＝0”是 “sin x＝1” 的 （ ▲ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知直线
平面，直线
平面
，下列命题中正确的是

（ ▲ ）

A．若
则
B．若
则

C．若
则
D．若
则

4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为 （ ▲ ）

A．-1　　　　　　　　 B．3　　　　　　　

C．
　　　　　 D．-5

5．设变量
满足约束条件
，则
的取值范围是 （ ▲ ）

A．
B．
C ．
D．

6．已知函数
的部分图像如图所示，则的值为 （ ▲ ）

A．
B．

C．
D．

7．若直线
被圆
截得的弦长大于等于
，则的取值范围为 （ ▲ ）

A．
B．
C．
D．

8．已知函数
是定义在上的偶函数, 且在区间
单调递增. 若实数满足

, 则的取值范围是 （ ▲ ）

A．
B．
C．
D．

9．设
是双曲线
的两个焦点，P是C上一点，若

，且
的最小内角为
，则C的离心率为 （ ▲ ）

A．
B．
C．
D．

10．已知函数
有两个极值点
,若
,则关于的方程
的不同实根个数为 （ ▲ ）

A．
B． C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）

11． 已知复数
为实数，为虚数单位，则实数的值为 ▲ ．

12．若函数
（
）是偶函数，则它的值域为 ▲ ．

13．在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是 :

梯形的概率为 ▲ ．

14．某几何体的三视图如图所示，根据所给尺寸（单位：cm），

则该几何体的体积为 ▲ ．
。

15．已知
则
的最小值是 ▲ ．

16．已知函数
在区间
上有两个不同的零点，

则实数的取值范围是 ▲ ．

17．在
中，若
,则
▲ ．

三、解答题：本大题共5小题，满分72分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

18.（本小题满分14分）已知函数

(Ⅰ)求
的值；

(Ⅱ)若
,求
的值。

19．（本小题满分14分）已知等差数列
的前项和为
,且
.

(Ⅰ) 求
；

(Ⅱ) 设数列
满足
,
，求
。

20．（本小题满分14分）如图，
中，
两点分别是线段
的中点，现将
沿
折成直二面角
。

(Ⅰ) 求证：
； (Ⅱ)求直线
与平面
所成角的正切值。

21．（本小题满分15分）

已知
,函数
.

(Ⅰ) 若函数
的图象过点
,且在点处的切线斜率是
，求
的值；

(Ⅱ) 若
是函数
的极大值点，且
时，
的最小值为
，求的值。

22．（本小题满分15分）如图，过抛物线

的焦点作直线
与抛物线相交于，两点.直线
//
,且与抛物线
相切于点，直线
交抛物线于另一点
.

已知抛物线
上纵坐标为
的点
到焦点的距离为2。

(Ⅰ)求抛物线
的方程；

(Ⅱ)求
的面积的最小值。

2013年台州市四校联考 数学（文科）参考答案

一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



C

B

D

D

A

B

A

C

C

A



二、填空题（共7小题，每小题4分，共28分）

11．-2 12．
13．
14． 15 　15．
　 16．
17．4

三、解答题（本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18．(14分)已知函数

(Ⅰ)求
的值；

(Ⅱ)若
,求
的值。

解: (Ⅰ)

=
…………………4分

…………………7分

(Ⅱ)由
,得

, …………………9分

又

…………………11分

=
…………………14分

19．(14分)已知等差数列
的前项和为
,且
.

(Ⅰ) 求
；

(Ⅱ)设数列
满足
,
，求
。

解：(Ⅰ)设等差数列
的公差为
，由
，

， …………2分

解得
, …………………4分
……………………7分

(Ⅱ)
,
是首项为
,公比为
的等比数列，

时，

=
……………12分

时，

……………………14分

20．（14分）如图，
中，
两点分别是线段
的中点，现将
沿
折成直二面角
。

(Ⅰ)求证：
；(Ⅱ)求直线
与平面
所成角的正切值。

解：(Ⅰ) 由
两点分别是线段
的中点，

得
，

为二面角
平面角，
。

…………………3分

又

…………………5分

…………………7分

(Ⅱ)连结BE交CD于H，连结AH

过点D作
于O。

，

所以
为
与平面
所成角。…………………10分

中，
，

中，
.

所以直线
与平面
所成角的正切值为
。…………………14分

21．（15分）

已知
,函数
.

(Ⅰ)若函数
的图象过点
,且在点处的切线斜率是
，求
的值；

(Ⅱ)若
是函数
的极大值点，且
时，
的最小值为
，求的值。

解：(Ⅰ)

由题知
，解得，
…………………5分

(Ⅱ)

由题知
…………………7分

由韦达定理得另一极值点为
,

故

. …………………9分

在
内递增，在
内递减，在
内递增，

①当
,即
时，
在
上单调递减，

,得
,舍去。 …………………12分

②当
,即
时，

得
,

或
（舍去） 综上，
。 …………………15分

22．（15分）如图，过抛物线

的焦点作直线
与抛物线相交于，两点.直线
//
,且与抛物线
相切于点，直线
交抛物线于另一点
.

已知抛物线
上纵坐标为
的点
到