2013年台州市四校联考数学（理科）试卷

2013年11月

注意：本卷共22题，满分150分，考试时间120分钟

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么 棱柱的体积公式

如果事件A、B相互独立，那么 其中S表示棱柱的底面积，h表示棱柱的高

棱锥的体积公式

如果事件A在一次试验中发生的概率是

P，那么n次独立重复试验中恰好发生k 其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高

次的概率 棱台的体积公式

球的表面积公式
其中S1，S2分别表示棱台的上下底面积，

球的体积公式
其中R表示球的半径 h表示棱台的高

第I卷(选择题 共50分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知全集U＝R，集合
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．“
”是“函数
的最小正周期为”的 （ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知
,则 （ ）

A．
B.

C．
D.

4．若将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”。下列四个命题：

①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行；

③平行于同一直线的两直线平行；④平行于同一平面的两直线平行．

其中是“可换命题”的是 （ ）

A．①② B．①④ C．①③ D．③④

5．已知
为等差数列
的前项和，若
，
，则
等于（ ）

A．2 011 B．2 010 C．0 D．2

6．将函数
的图象经怎样平移后所得的图象关于点
中心对称 （ ）

A．向左平移
B．向左平移
C．向右平移
D．向右平移

7．已知△ABC，且
,若
是边AB上一定点，若对于边AB上任一点，恒有
则 （ ）

A．
B.
C.
D.

8．设
满足约束条件
若目标函数
的最大值是12，则
的最小值为 （ ）

A．
B．
C． D．

9．已知函数
是定义在数集上的奇函数，且当
时，
成立，若
,
,
,则
的大小关系是 （ ）

A．
B.
C.
D.

10．已知函数
（
），设
，
，若

函数
有四个零点，则
的取值范围是 （ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题: 本大题共7小题，每小题4分，共28分.

11．已知复数 z1=m+2i，z2=3-4i，若
为实数，则实数m的值为 ▲ .

12．在等差数列
中，若
，则
▲ .

13．已知
则不等式
≤5的解集是 ▲ .

14．如右图，某几何体的正视图是平行四边形，侧视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为 ▲ .

15．已知函数
(
)，

且
对
恒成立.则
▲ .

16．已知向量
满足
,

且
,则
的最小值为 ▲ .

17．已知
,若
,总有
≥0 成立，则的取值的集合为 ▲ .

三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

18．（本题14分）

已知
的三内角
与所对的边
满足
．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）如果用
为长度的线段能围成以
为斜边的直角三角形，试求实数的取值范围．

19． (本小题满分14分)

已知数列
的前项和
满足：
（为常数，

（Ⅰ）求
的通项公式；

（Ⅱ）设
，若数列
为等比数列，求的值。

20．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥
中，底面
为直角梯形，
,平面
⊥底面
，
为
的中点，
是棱
上的点，
，
,
．

（I） 求证：平面
⊥平面
；

（II）若二面角
为30°，设
,

?试确定的值。

21．(本小题满分15分)

已知函数
在
处取得极小值
。

（1）设
，若
有三个零点，求实数的范围；

（2）是否存在实数
，当
时，使得函数
在定义域
上值域为
，若存在，求
的范围；若不存在，说明理由

22．（本小题满分15分）

已知函数

（1）若函数f(x)区间
上存在极值点，求实数的取值范围；

（2）当
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；

（3）求证：

,e为自然对数的底数，e = 2.71828……).

2013年台州市四校联考 数学(理科)试卷参考答案

一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1-5 A ADCC 6-10 A DB AA

二、填空题:本大题共7小题，每小题4分，共28分。

11.
12．
13.
14.
15．

16.
17.

三、解答题:本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算过程．

18.（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）由题意得,

………… 3分

; ………… 6分

（Ⅱ）
,

则
………… 10分

又
，
，

则
。 ………… 14分

19.（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）

∴
………… 2分

当
时，

两式相减得：
，
(a≠0，n≥2)即
是等比数列．… 5分

∴
……………… 7分

（Ⅱ）由a≠1得

，…… 10分

若
为等比数列，则有

而
，
，

故

，

解得
， …………………12分

再将
代入得
成立，

所以
． …………………14分

20.（本小题满分14分）

解:（I）∵AD // BC，BC=
AD，Q为AD的中点，

∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ ．

∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD．

又∵平面PAD⊥平面ABCD 且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴BQ⊥平面PAD．

∵BQ平面PQB，

∴平面PQB⊥平面PAD．…………6分

另证：AD // BC，BC=
AD，Q为AD的中点，

∴ 四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ ．

∵ ∠ADC=90° ∴∠AQB=90°． ∵ PA=PD， ∴PQ⊥AD．

∵ PQ∩BQ=Q， ∴AD⊥平面PBQ． ∵ AD平面PAD，

∴平面PQB⊥平面PAD．……9分

（II）∵PA=PD，Q为AD的中点， ∴PQ⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PQ⊥平面ABCD．

如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．

则平面BQC的法向量为
；
，
，

，
．

设
，则
，
，

∵
，∴
， ∴
……12分

在平面MBQ中，
，
，

∴ 平面MBQ法向量为
．

(请见反面)

∵二面角M-BQ-C为30°，
，∴
．……14分

21．(本小题满分15分)

解：

（1）易知：
得
………… 3分

从而
，得极大值为
，极小值为
，

有三个零点
得
………… 5分

（2）假设存在这样的实数
，

显然
，对称轴
，

当
时，
递减，
………… 7分

由
得
，满足范围，且分别以
和
代入（1）、（2）得：

，即
在
上有两解，可得
…10分

当
时，显然
，

又
，所以

得
，又
，所以
，

所以
…………13分

当
时，显然不符合
，舍；

综上：
…………15分

22．(本小题满分15分)

(1)解：函数f (x)定义域为(0，+∞)，
，由
得：x = 1，当0 < x <1时，
，当x > 1时，
，∴f (x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，函数f (x)在x = 1处取得唯一的极值 -----2分由题意得
，故所求实数a的取值范围为
-----4分

(2)解： 当x≥1时，不等式
化为：
，即
令
，由题意，k≤g (x)在[1，+∞)恒成立 ----5分
----6分令
，则
，当且仅当x = 1时取等号所以
在[1，+∞)上单调递增，h (x)≥h(1) = 1 > 0 ----7分因此
，∴g (x)在[1，+∞)上单调递增，
因此，k≤2，即实数k的取值范围为(－∞，2] ----8分

(3) 由(2)知，当x≥1时，不等式
恒成立，即
，整理得：
10分令x = k(k + 1)，k∈N*，则有
分别令k = 1，2，3，…，n，则有
，…，

------12分将这n个不等式左右两边分别相加，得
故
，从而
----15分

高三四校联考错误答案统计

以下学科答案有问题。现将这些问题发给您们,请共同斟酌一下。

??数学（理）：第6题答案应为C；

第21题（1）中的“T（2）= 2— m <0”改为“T（2）=m—2<0”

第21题（2）中的“在
上有两解” 改为“在（—∞，1]上有两解”