2

014年高三教学测试（二）

文科数学 参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分）

1．C； 2．B； 3．B； 4．C； 5．B；

6．C； 7．D； 8．D； 9．A； 10．A．

第9题提示：

分别以
为
轴建立直角坐标系，则
，
，设
，
，
．所以
．

第10题提示：

对实数
，
恒成立，所以
．

因为
，令
，则
，

当
时，
．∴
．

另解：设

，

∴
，由
得
，

∴
．

当
时，
， ∴
．

二、填空题（本大题共7小题，每题4分，共28分）

11．
； 12．
； 13．7； 14．3；

15.
； 16.
； 17．②③．

第17题提示：

考虑①：因为
，
与
相交不垂直，所以
与
不垂直，则①不成立；

考虑②：设点的在平面
上的射影为点，当
时就有
，而
可使条件满足，所以②正确；

考虑③：当点落在
上时，
平面
，从而平面
平面
，所以③正确．

考虑④：因为点的射影不可能在
上，所以④不成立.

三、解答题（本大题共5小题，共72分）

18．（本题满分14分）

在△
中，角、、的对边分别为、
、，且
．

（Ⅰ）若
，求角的大小；

（Ⅱ）若
，
，求△
面积的最小值．

18．（Ⅰ）（本小题7分）

由正弦定理，得
．

∴
．∴
（
舍）．

（Ⅱ）（本小题7分）

由（Ⅰ）中
得
或
．

又
，∴
，∴
．

∴
．

∴ 当
时，
取最小值
．

19．（本题满分14分）

已知数列
的前项和
，数列
满足
，
（
）．

（Ⅰ）求数列
、
的通项公式；

（Ⅱ）记数列
的前项和为
，求
<2014时的的最大值．

19．（Ⅰ）（本小题7分）

当
时，
，

又
， ∴
．

又
，所以
是公比为3的等比数列，
．

（Ⅱ）（本小题7分）

① — ②得，

．

所以
．

由
得
，

所以的最大值为6．

20．（本题满分15分）

如图，在三棱柱
中，平面
平面
，
，
，
，是棱
的中点．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求二面角
的正切值．

20．（Ⅰ）（本小题7分）

证明：平形四边形
中，

，
，

且是棱CC1的中点，

∴
，且
．

又∵平面
平面
，平面
平面
，

∴
平面
，

又
平面
，∴

（Ⅱ）（本小题8分）

解：过作
，垂足为，连接
．

由（Ⅰ）已得
，∴
平面
，

∴
为二面角
的平面角．

又
，∴在
中，
．

∴二面角
的正切值是
．

21．（本题满分15分）

已知
，函数
．

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）若函数
存在两个极值点
、
，求
的取值范围．

21．（Ⅰ）（本小题6分）

，
．

当
时，
，
在
上是增函数．

当
时，
在
和
上是增函数；

在
上是减函数．

（Ⅱ）（本小题9分）

∵函数
存在两个极值点，∴
，∴
．

又∵
、
是函数
的两个极值点，∴
，
．

∴
=

．

∵
，∴
．

22．（本题满分14分）

如图，已知圆
与坐标轴相交于O、两点（为坐标原点），另有抛物线
．

（Ⅰ）若抛物线上存在点，直线
切圆于点，四边形
是平行四边形，求抛物线的方程；

（Ⅱ）过点作抛物线的切线，切点为，直线
与圆相交于另一点
，求
的取值范围．

22．（Ⅰ）（本小题6分）

因为
是平行四边形，
，

所以
，
，

又
，所以
，解得
．

∴抛物线的方程为
．

（Ⅱ）（本小题8分）

不妨设
（
）．

∵
，

∴
的方程为
，即
．

又
，∴
，即
．∴
的方程为
．

联立方程组
，消去，得
．

∴
的横坐标为
．

∴
．

又
， ∴
的取值范围为
．