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014年高三教学测试（二）

理科数学 参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分）

1．A； 2．A； 3．D； 4．B； 5．C；

6．D； 7．A； 8．D； 9．B； 10．C．

第9题提示：

考虑①：因为
，
与
相交不垂直，所以
与
不垂直，则①不成立；

考虑②：设点的在平面
上的射

影为点，当
时就有
，

而
可使条件满足，所以②正确；

考虑③：当点落在
上时，
平面
，从而平面
平面
，所以③正确．

考虑④：因为点的射影不可能在
上，所以④不成立.

第10题提示：

不等式组
表示的平面区域是由
围成的三角形区域（包含边界）．

因为直线
与
表示的平面区域无公共点, 所以
满足：
或
．

在如图所示的三角形区域（除边界且除原点）．所以
的取值范围是
．

二、填空题（本大题共7小题，每题4分，共28分）

11．
； 12．512； 13．
（或6562）； 14．
；

15．
； 16．
； 17．14．

第17题提示：

集合中的方程表示圆心在直线
上的六个圆, 由对称性只需考虑第一象限. 记
对应的圆分别为⊙
, ⊙
,⊙
,易知⊙
与⊙
外切, ⊙
与⊙
, ⊙
相交, 且经过⊙
的圆心.
对应的三条直线
，
与⊙
外切，
与⊙
外切且与⊙
相交，
与⊙
与⊙
的外公切线且与⊙
相交，由图知在第一象限共有7个交点，故共有14个交点.

三、解答题（本大题共5小题，共72分）

18．（本题满分14分）

在△
中，角、、
的对边分别为、
、，且
．

（Ⅰ）若
，求角的大小；

（Ⅱ）若
，
，求△
面积的最小值．

18．（Ⅰ）（本小题7分）

由正弦定理，得
．

∴
．

∴
（
舍）．

（Ⅱ）（本小题7分）

由（Ⅰ）中
可得
或
．

又
时，
，
，即
，矛盾．

所以
，
，即
．

所以
，

即当
时，
的最小值是
．

19．（本题满分15分）

如图，四棱锥
中，
平面
，
,
，
，是棱
的中点．

（Ⅰ）若
，求证：
平面
；

（Ⅱ）求的值，使二面角
的平面角最小．

19．（Ⅰ）（本小题7分）

当
时，

∵
,
．

∴
．

又
平面
，∴
．

∴
平面
．

又
平面
，

∴
．

又
，是棱
的中点，

∴
．

∴
平面
．

（Ⅱ）（本小题8分）

如图，建立空间直角坐标系
，则
，
，

，
．

∴
、
．

设平面
的法向量为
，

则

取
，得
．

又易知平面
的法向量为
．

设二面角
的平面角为，

则

要使最小，则
最大，即
，

∴
，得

20．（本题满分14分）

有A、B、C三个盒子，每个盒子中放有红、黄、蓝颜色的球各一个，所有的球仅有颜色上的区别．

（Ⅰ）从每个盒子中任意取出一个球，记事件为“取得红色的三个球”，事件为“取得颜色互不相同的三个球”，求
和
；

（Ⅱ）先从A盒中任取一球放入B盒，再从B盒中任取一球放入C盒，最后从C盒中任取一球放入A盒，设此时A盒中红球的个数为
，求
的分布列与数学期望
．

20．（Ⅰ）（本小题6分）

，
．

（Ⅱ）（本小题8分）

的可能值为
．

①考虑
的情形，首先盒中必须取一个红球放入盒，相应概率为
，此时盒中有2红2非红；若从盒中取一红球放入盒，相应概率为
，则盒中有2红2非红，从盒中只能取一个非红球放入盒，相应概率为
；若从盒中取一非红球放入盒，相应概率为
，则盒中有1红3非红，从盒中只能取一个非红球放入盒，相应概率为
．故
．

②考虑
的情形，首先盒中必须取一个非红球放入盒，相应概率为
，此时盒中有1红3非红；若从盒中取一红球放入盒，相应概率为
，则盒中有2红2非红，从盒中只能取一个红球放入盒，相应概率为
；若从盒中取一非红球放入盒，相应概率为
，则盒中有1红3非红，从盒中只能取一个红球放入盒，相应概率为
．故
．

③
．

所以
的分布列为

0

1

2














的数学期望
．

21．（本题满分15分）

如图，设椭圆
长轴的右端点为，短轴端点分别为、，另有抛物线
．

（Ⅰ）若抛物线上存在点，使四边形
为菱形，求椭圆的方程；

（Ⅱ）若
，过点作抛物线的切线，切点为，直线
与椭圆相交于另一点
，求
的取值范围．

21．（Ⅰ）（本小题6分）

由四边形
是菱形，

得
，

且
，解得
，
，

所以椭圆方程为
．

（Ⅱ）（本小题9分）

不妨设
（
），

因为
，

所以
的方程为
，即
．

又因为直线
过点，所以
，即
．

所以
的方程为
．

联立方程组
，消去，得
．

所以点
的横坐标为
，

所以
．

又
，所以
的取值范围为
．

22．（本题满分14分）

已知
，函数
，
．

（Ⅰ）令
，若函数
的图象上存在两点、满足
（为坐标原点），且线段
的中点在轴上，求的取值集合；

（Ⅱ）若函数
存在两个极值点
、
，求
的取值范围．

22．（Ⅰ）（本小题6分）

由题意，不妨设
，
，且
，

∴
，即
，∴
．

∵
，

∴的取值集合是
．

（Ⅱ）（本小题8分）

，
．

要使
存在两个极值点，则

即
在
上存在两不等的实根．

令
，

∵
的图象的对称轴为
，∴
且
．

∴
．

由上知
．

∴

．

令
，
，

∴
，
在
上单调递减，

∴
．

故
的取值范围是
．