武清区2013～2014学年度高三年级第三次模拟高考

数学(理科)试题

题号

一

二

三

总分









15

16

17

18

19

20





得分





















注意事项：

1．选择题选出答案后，请用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

2．请用黑色墨水的钢笔或签字笔解答填空题、解答题。

一．选择题（本大题共8 小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．若为虚数单位，则复数
等于（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

2．函数
在区间
上有零点，则实数的取值范围是（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

3．在下列命题中，真命题是（ ）

（A）“抛物线
与轴围成的封闭图形面积为
”；

（B）“若抛物线的方程为
，则其焦点到其准线的距离为2”的逆命题；

（C）“若向量
，则||=13”的否命题；

（D）“若
，则
”的逆否命题．

4．一个几何体的三视图如图所示，则这

个几何体的体积为（ ）

（A）
（B）

（C）8 （D）

5．要得到函数
的图象,可把函数
的图象( )

（A）向左平移
个单位长度 （B）向右平移
个单位长度

（C）向左平移
个单位长度 （D）向右平移
个单位长度

6．已知数列{
}对任意的
有
成立，若
，则
等于（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

7．函数
的单调增区间是( ）

（A）
，
（B）
，

（C）
（D）

8．若
，
，则
取得最小值时，的值为（ ）

（A）1 （B）

（C）2 （D）4

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上）

9．若
满足约束条件
，则目

标函数
的最大值为 ．

10．5人排成一排，其中甲、乙二人不能相邻的

不同排法共有 种．

11．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，

则输出的值为 ．

12．双曲线：
的右焦点在直线：
(原点为极点、轴正半轴为极轴)上，右顶点到直线的距离为
，则双曲线的渐近线方程为 ．

13．如图，是圆
外的一点，
为切线，

为切点，割线
经过圆心
，
，

则
．

14．如图,在
中，
与
交于点，

且
，则
．

三.解答题（本大题共6小题，共80分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。

15．（本小题满分13分）

在
中，内角
的对边分别为
，若
．

（1）求的大小；

（2）若
，求的值．

16．（本小题满分13分）

为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中的微量元素
的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：

编号

1

2

3

4

5





169

178

166

175

180





75

80

77

70

81



（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；

（2）若产品中的微量元素
满足
175，且
75时,该产品为优等品．

（i）用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；

（ii）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数
的分布列、数学期望及其方差．

17．（本小题满分13分）

如图，三棱柱
中，
平面
，
，

．

（1）求证：
；

（2）求二面角
的余弦值；

（3）求点到平面
的距离．

18．（本小题满分13分）

已知数列
满足，
，且
．

（1）求证：数列
是等差数列；

（2）设
，求数列
的前项和
．

19．（本小题满分14分）

已知椭圆：
的左、右焦点分别为
，正
的中心恰为椭圆的上顶点，且
．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线
与椭圆交于
两点，点在轴上，
是以角为顶角的等腰直角三角形，求直线
的方程．

20．（本小题满分14分）

已知函数
,
,
.

（1）若是函数
的极大值点,求的值；

（2）在（1）的条件下，若函数
在
内存在单调递减区间，求的

取值范围；

（3）若
，且
，求证：
.

数学(理科)试题参考答案

1．D 2．D 3．A 4．B 5．C 6．A 7．A 8．B

9．5 10．72 11．
12．
13．
14．

15．（1）∵
,
…………………………1分

∴
∴
………………………………………………………3分

∵是三角形内角 ∴
∴
……………………………………5分

（2）∵
∴
…………………………………………6分

∵
∴
………………8分

∴
……………10分

…………………………………………11分

∵
……………………………………………………………………12分

∴
…………………………………………………13分

16（1）乙厂生产的产品总数为
……………………………………………2分

（2）显然编号为2,5的产品为优等品,即样本中有两件产品为优等品

所以,样本中优等品的频率为
……………………………………………………3分

所以,乙厂生产的优等品的数量为
……………………………………5分

（3）
…………………………………………………………………………6分

，
的分布列为： …………………………………9分

0

1

2













∴
………………………………………………11分

………………………13分

17．解法一

（1）∵
∥
∴
是异面直线
所成的角 …………………1分

∵
平面
，

∴ 在直角
中，
，在直角
中，

∵
∴
∴ 在
中，

∴ 在
中，
……………………………………3分

∴
为直角三角形 ∴
∴
……………………4分

（2）取
中点，
中点，连接

∵
∴
且

∵
平面
∴
∥
∴

∴
就是二面角
的平面角 ………………………………6分

延长
至，使
∴
与
平行且相等

∴ 四边形
为平行四边形 ∵
∥
∴
平面
∴

∴ 四边形
为矩形 ……………………………………………………8分

∴ 在直角
中，
…………………9分

（3）取
的中点，连
∵
为正三角形 ∴
且

∵
，
是平面
内的两条相交直线

∴
平面
………………………………………………………………11分

设点到平面
的距离为，显然
…………………………12分

∴

∴
∴
………………13分

解法二

（1）∵
，
∴
为正三角形

取
的中点为，连
，∴
∴

∵
平面
∴
平面
∴
两两垂直 …2分

以
为坐标原点，分别以
的方向为
轴的方向，

建立如图空间直角坐标系．则
……3分

∴

∵

∴
∴
…………………………………………………………5分

（2）
，设平面
的法向量为

∵
∴
，令
，则

∴
…………………………………………………………………7分

设平面
的法向量为
∵

∴
，令
，则
∴
……………………8分

∴
，观察到二面角
为锐角

∴ 二面角
的余弦值为
……………………………………………10分

（3）设点到平面
的距离为，则
……………………………11分

……………………………………………………………13分

18．（1）∵
依题意只需证明
，
……1分

∵
∴

∴ 只需证

……………………………………3分

即只需证
，即只需证

即只需证
或
……………………………………………………5分

∵
不符合
∴只需证

显然数列
是等差数列，且满足
，以上各步都可逆

∴ 数列
是等差数列 ……………………………………………………………7分

（2）由（1）可知
，∴
……………………………………8分

设数列
的前项和为

易知数列
是首项为1，公比为2的等比数列，数列
是常数列

∴
………………………9分

令
∴
∵ 数列
是递增数列

∴ 数列
前6项为负，以后各项为正 ……………………………………………10分

∴ 当
时，

…………………………………………………………………11分

当
时，

……………………12分

∴
………………………………………………………13分

19．（1）正
的边长为
（为椭圆的半焦距），且点在轴上

依题意
∴
∵
∴
………………1分

∵
∴

…3分

∴
∴
∴ 椭圆的方程为
…………………………4分

（2）由（1）知，正
的边长为
，∴ 点的纵坐标为

∴ 点的坐标为

若直线
的斜率不存在，
即椭圆的上下顶点，显然当点为
或
时，

是以角为顶角的等腰直角三角形，此时直线
的方程为
……………6分

若直线
的斜率存在，设为
，则直线
的方程为
，与
联立得

，
∴
……………………7分

设
，线段
的中点为

∴

∵
∴
∴
∴
…9分

…………………………………………………10分

……………………………………11分

∵
∴

∴
∴
且满足
……………………………………………12分

∴ 直线
的斜率存在时，直线方程为
………………………………13分

综上，所求直线
的方程为
和
…………………………………14分

20．（ 1）
………………………………………………………………1分

令
，则
或

当
时，在
附近有
；当
时，在
附近有

∴
是函数
的极小值点 ……………………………………………………2分

当
时，在
附近有
；当
时，在
附近有

∴
是函数
的极大值点 ……………………………………………………3分

∴
………………………………………………………………………………4分

（2）由（1）可知，
∴
……………5分

∵ 函数
在
内存在单调递减区间

∴
在
内有解，即
在
内有解 ………6分

∵ 函数
在
内单调递增，

∴ 在
内
……………………………………………………7分

∴ 函数
在
内存在单调递减区间时，
…………………………8分

（3）不妨设
，则原式即证

∵
，两边同除以
得
，

令
，则原式即证
……………………………………………9分

下面进行证明。设

∴
…………………………………………10分

令
，∵
，则

∴ 函数
是增函数，∴
…………………11分

∴

∴ 函数
是增函数 ………………………………………12分

∴
∴
………………………………13分

∴ 综上，
成立 ………………………………………………14分