武清区2013～2014学年度高三年级第三次模拟高考

数学(文科)试题

题号

一

二

三

总分









15

16

17

18

19

20





得分























注意事项：

1．选择题选出答案后，请用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

2．请用黑色墨水的钢笔或签字笔解答填空题、解答题。

一．选择题（本大题共8 小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．若为虚数单位，则复数
等于（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

2．函数
在区间
上有零点，则实数的取值范围是（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

3．已知命题：若
，则函数
是偶函数．下列四种说法：①命题是真命题；②命题的逆命题是真命题；③命题的否命题是真命题；④命题的逆否命题是真命题。其中正确说法的个数是（ ）

（A）1 （B）2

（C）3 （D）4

4．一个几何体的三视图如图所示，则这

个几何体的体积为（ ）

（A）
（B）

（C）8 （D）

5．正
中，点在边
上，且
，则
的余弦值是（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

6．已知数列{
}对任意的
有
成立，若
，则
等于（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

7．设函数
，则不等式
的解集是（ ）

（A）

（B）

（C）
（D）

8．若
，
，则
取得最小值时，的值为（ ）

（A）1 （B）

（C）2 （D）4

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上）

9．若
满足约束条件
，则目

标函数
的最大值为 ．

10．在平面直角坐标系中，直线的一般式方程为
，在空间直角坐标系中，类比直线的方程，可得平面的一般式方程为
．类比直线一般式方程中
系数满足的关系式，可得平面方程中
系数满足的关系式为

11．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，

则输出的值为 ．

12．双曲线：
的右焦点在直线：
上，右顶点到直线的距离

为
，则双曲线的渐近线方程为 ．

13．如图，是圆
外的一点，
为切线，

为切点，割线
经过圆心
，
，

则
．

14．在四边形
中，
，
，则

三.解答题（本大题共6小题，共80分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。

15．（本小题满分13分）

为了了解低保户的生活情况，用分层抽样的方法从
三个居民区的低保户中，抽取若干家庭进行调研，有关数据如小表（单位：户）：

居民区

低保户数

抽取低保户数





34

2





17







68





 （1）求
；

（2）若从
两个居民区抽取的低保户中随机选2户进行帮扶，用列举法求这2户都来自居民区的概率．

16．（本小题满分13分）

已知函数
，且函数
的最小正周期为．

（1）求函数
的解析式；

（2）若将函数
的图象向右平移
个单位长度，得到函数
的图象，求函数
在区间
上的最大值和最小值，并指出此时的值．

17．（本小题满分13分）

如图，三棱柱
中，
平面
，
，

．

（1）求证：
；

（2）求直线
与平面
所成的角；

（3）求点
到平面
的距离．

18．（本小题满分13分）

已知数列
满足，
，且
．

（1）求证：数列
是等差数列；

（2）设
，求数列
的前项和公式
．

19．（本小题满分14分）

已知椭圆：
的左、右焦点分别为
，正
的中心恰为椭圆的上顶点，且
．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线
与椭圆交于
两点，点在轴上，
是以角为顶角的等腰直角三角形，求直线
的方程．

20．（本小题满分14分）

已知函数
．

（1）若函数
在
处取得极值，求函数
的解析式；

（2）若函数
在
不单调，求实数的取值范围；

（3）在（1）的条件下，判断过点
可作曲线
多少条切线，并说明理由．

 数学(文科)试题参考答案

1．D 2．D 3．D 4．B 5．D 6．A 7．B 8．B

9．5 10．
11．
12．
13．
14．-1

15．（1）分层抽样的抽样比为
……………………………………………………2分

∴
，
……………………………………………………4分

（2）记从居民区抽取的两个低保户为
，从居民区抽取的四个低保户为

，则从
两个居民区抽取的6个低保户中随机选2户进行帮扶的基本事件有

共15种 ………………………9分

选中的2个低保户都来自居民区的基本事件有

共6种 ………………………………………………………11分

∴ 选中的2户都来自居民区的概率为
……………………………………13分

16．（1）
…………………2分

…………………………………………………………… 4分

∵ 函数
的最小正周期为，∴
∴
…………… 6分

（2）
…………………………………… 8分

∵
，所以
…………………………………………… 9分

∴ 当
，即
时，
，
取得最大值2 ……… 11分

当
，即
时，
，
取得最小值
…13分

17．（1）∵
∥
∴
是异面直线
所成的角 ………………1分

∵
平面
，

∴ 在直角
中，
，在直角
中，

∵
∴
∴ 在
中，

∴ 在
中，
……………………………………3分

∴
为直角三角形 ∴
∴
……………………4分

（2）连接
，交
于点∵ 四边形
为菱形 ∴

∵
平面
，
∥
∴
平面
∴

∵
是平面
内的两条相交直线 ∴
平面
………6分

∴
就是直线
与平面
所成的角 ……………………………7分

∵
∴
为正三角形 ∴

∴ 在直角
中，

∴
∴ 直线
与平面
所成的角为
…………………9分

（3）设点
到平面
的距离为

在直角
中，
∴
，且
…………10分

∵
……………………………………………………………11分

∴

∴
∴
………………………………13分

18．（1）∵
依题意只需证明
，
………1分

∵
∴

∴ 只需证

………………………………………3分

即只需证
，即只需证

即只需证
或
………………………………………………………5分

∵
不符合
∴只需证

显然数列
是等差数列，且满足
，以上各步都可逆

∴ 数列
是等差数列 ………………………………………………………………7分

（2）由（1）可知
，∴
………………………………………8分

设数列
的前项和为

易知数列
是首项为1，公比为2的等比数列，数列
是常数列

∴
……………………9分

令
∴
∵ 数列
是递增数列

∴ 数列
前6项为负，以后各项为正 …………………………………………10分

∴ 当
时，

………………………………………………………………11分

当
时，

…………………12分

∴
……………………………………………………13分

19．（1）正
的边长为
（为椭圆的半焦距），且点在轴上

依题意
∴
∵
∴
………………1分

∵
∴

…3分

∴
∴
∴ 椭圆的方程为
………………………4分

（2）由（1）知，正
的边长为
，∴ 点的纵坐标为

∴ 点的纵坐标为

若直线
的斜率不存在，
即椭圆的上下顶点，显然当点为
或
时，

是以角为顶角的等腰直角三角形，此时直线
的方程为
……………6分

若直线
的斜率存在，设为
，则直线
的方程为
与
联立得

，
∴
……………………7分

设
，线段
的中点为

∴
∵

∴
∴
∴
…………………9分

…………………………………………………10分

…………………………………11分

∵
∴

∴
∴
且满足
…………………………………………12分

∴ 直线
的斜率存在时，直线方程为
……………………………13分

综上，所求直线
的方程为
和
………………………………14分

20．（1）
……………………………………………1分

∵
∴
∴
…………………………2分

∴
，显然在
附近
符号不同，

∴
是函数
的一个极值点 ……………………………………………3分

∴
…………………………………………………………………4分

（2）若函数
在
不单调，

则
应有二不等根 …………………………5分

∴
∴
…………………………………7分

∴
或
………………………………………………………8分

（3）
，设切点
，

则
纵坐标
，又
，

∴ 切线的斜率为
，得
……10分

设

，∴

由
0，得
或
，

∴
在
上为增函数，在
上为减函数，

∴ 函数

的极大值点为
，极小值点为
，

∵
∴ 函数

有三个零点 ……………13分

∴ 方程
有三个实根

∴ 过点
可作曲线
三条切线 ……………………………14分