一、选择题.(共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.已知集合
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

2.设复数满足
是虚数单位），则
（ ）

A. 1 B.2 C.3 D. 4

3.命题“若
则
”的否定是（ ）

A.
B.
C.
D.

4.双曲线
上一点到左焦点的距离为4，则点到右准线的距离为（ ）

A. 1 B.2 C.3 D. 1或3

5.一个圆锥被过其顶点的一个平面截去了较少的一部分几何体，余下的几何体的三视图如下图，则余下部分的几何体的体积为(　　)

A.
B.
C.
D.

6.根据上面的程序框图，若输出的结果
，则图中横线上应填（ ）

A. 48 B.50 C. 52 D.54

7.对于集合，若满足：
且
，则称为集合的“孤立元素”，则集合
的无“孤立元素”的含4个元素的子集个数共有（ ）

A. 28 B.36 C.49 D. 175

8.已知圆
的半径为1，四边形
为其内接正方形，
为圆
的一条直径，
为正方形
边界上一动点，则
的最小值为（ ）

A.
B.
C.
D.

9.在
中，角
的对边分别为
，若
则
（ ）

A.
B.
C.
D.

10.设
则
的最小值为（ ）．

A.
B.

3 D.

二．填空题.(本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分)

11.某商场销售甲、乙、丙三种不同类型的商品，它们的数量之比分别为
，现采用分层抽样的方法抽出一个容量为的样本，其中甲种商品有12件，则此样本容量= ；

12.已知
是定义在上的奇函数，对
恒有
，且当
时，
则
；

13.等差数列
的前项和为
，若
成公比为的等比数列，则= ；

特别提醒：14~16题，考生只能从中选做两题；若三道题都做的，则只计前两题的得分．

14.已知
的中线
交于

且
四点共圆，则
；

15.在直角坐标系
中，极点与直角坐标系原点重合，极轴与轴非负半轴重合建立极坐标系，若曲线
为参数）与曲线
有两个公共点，则实数的取值范围是 ；

16.若关于的不等式
在
内恒成立,则实数的取值范围是 ．

三．解答题.(共6小题，共75分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．)

17.（13分）

已知
的单増区间为
．

（1）求
的值；

（2）在
中，若
求角的取值范围．

18.（13分）

如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为
，已知每个元件正常工作的概率均为
，且各元件相互独立．

（1）求电流能在M与N之间通过的概率；

（2）记随机变量
表示
这四个元件中

正常工作的元件个数，求
的分布列及数学期望．

19.（13分）

如图，多面体
中，四边形
为矩形，
且
分别为
中点．

（1）求异面直线
所成的角；

（2）若二面角
大小为
，求
的长．

20.（12分）

在数列
中，
为其前项和，向量
，且
其中
且
．

（1）求数列
的通项公式；

（2）若
，数列
满足对任意
，都有
，

求数列
的前项和
．

21.（12分）

已知函数
．

（1）求
的单调区间和极值；

（2）若
，求证：
．

22.（12分）

已知椭圆
的一个焦点与抛物线
的焦点重合，且椭圆
经过点

．

（1）求椭圆
的方程；

（2）求椭圆
的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹方程；

（3）设（2）中的两切点分别为
，求点到直线
的距离的最大值和最小值．

命题人：陶成海

审题人：黄 哥

2014年重庆一中高2014级高三下期第三次月考

数学试题参考答案（理科） 2014.5

18.（13分）

解：(1) 记事件
为“元件
正常工作”，
，事件表示“电流能在M与N之间通过”，则
， 由于
相互独立，所以
，

法一：

；

法二：从反面考虑：

；



























 (2)由题
～
，
，

易得
的分布列如右，期望
.

20.（12分）解：（1）
由

又由
，两式相减得：

所以数列
是以首项为，公比为
的等比数列，

（2）法一：当
时，
，

在
中，令
则

因为
，

所以
，

将上式两边同乘公比
得，
，

减去
得，
，又
所以

所以
的前项和
。

21.（12分）











负

0

正





单减

极小值

单增



（1）由于
，令
，列表：

于是
在
，

在
处取得极小值，极小值为
，无极大值；

（2）令
，不妨设
，

则
，

而
在
上是增函数，所以

在
是增函数，所以

即
；

（又或，本题（2）问还可以用函数凹凸性的性质：因
，故
为下凸函数，而
且
，故由下凸函数得性质知
，直接利用函数凹凸性的性质是否要扣分请酌情处理）。

（3）设动点
，则
，下先证明直线
的方程为

设两切点
，设过
的切线：
代入椭圆方程得：

由
得，

又

，代入得：

于是过
的切线
当过
的切线斜率不存在时仍然符合上式，

同理过
的切线
而
均过
，故

由此可得直线
的方程为

所以点到直线
的距离
，

而
，所以点到直线
的距离的最大值和最小值分别为