一、填空题（25分）

1、已知正实数x、y、z满足2x
＝yz，则
的最小值为________．

2、设常数a>0，若9x＋
≥a＋1对一切正实数x成立，则a的取值范围为________．

3、设正项等差数列{an}的前2 011项和等于2 011，则
的最小值为________．

4、数列
满足
,则
??????? .

5、已知数列
中,
,
,
,

则
……
= ???????.

二、选择题（25分）

6、已知等差数列{
}的前项和为
，且
，则
(??? )

A．
???????????? B．
?? ??????????? C．
???????????? D.

7、在等比数列{an}中,
·
且前n项和
,则项数n等于??? （　　）

A．4??? B．5??? C．6??? D．7

8、在等差数列
中，
，则
的值为（???? ）

A．2????? B．3???? C．4????? D．5

9、设非零实数
满足
，则下列不等式中一定成立的是(??? )

A.
???????B.
??????? C.
???????D.

10、设函数
是定义在
上的可导函数，其导函数为
，且有
，则不等式
的解集为

A．
???? B．
????? C．
? ??? D．

三、简答题（50分）

11、某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162 m2的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/m2，中间两道隔墙建造单价为248元/m2，池底建造单价为80元/m2，水池所有墙的厚度忽略不计．

(1) 试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；

(2) 若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16 m，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．

12、如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间．一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．

(1) 现有可围成36m长的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？

(2) 若使每间虎笼的面积为24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成的四间虎笼的钢筋网总长最小？

13、?(1) 已知x<
，求函数y＝4x－2＋
的最大值；

? (2) 已知x>0，y>0且
＝1，求x＋y的最小值．

14、已知为锐角，且
，函数
，数列

的首项
，
.

（1）求函数
的表达式；（2）求数列
的前项和
．

参考答案

一、填空题

1、

.

2、

解析：9x＋
≥2
＝6a，所以6a≥a＋1，即a≥
.

3、2

解析：由题意得S2 011＝
＝2 011，

∴? a1＋a2 011＝2.

又a2＋a2 010＝a1＋a2 011＝2，

∴?
＋
＝

(a2＋a2 010)＝

＋1≥2.

4、

5、

【解析】：
，
，∴
，

……
……

所以
……
=

三、选择题

6、A

7、C

8、A

【解析】

试题分析：设等差数列
的公差为
，则
，则
．

考点：等差数列的运算．

9、D

10、

【解析】：由
，
得：
，即
，令
，则当
时，
，即
在
是减函数，
?，
，
，

在
是减函数，所以由
得，
，即
，故选

二、简答题

11、解：(1) 设污水处理池的宽为x m，则长为
m.

总造价为f(x)＝400×
＋248×2x＋80×162＝1 296x＋
＋12 960＝1 296
＋1 2960≥1 296×2
＋12 960＝38 880元．当且仅当x＝
(x>0)，即x＝10时取等号．∴ 当长为16.2 m，宽为10 m时总造价最低，最低总造价为38 880元．

(2) 由限制条件知
∴ 10
≤x≤16.设g(x)＋x＋
，由函数性质易知g(x)在
上是增函数，∴ 当x＝10
时(此时
＝16)，g(x)有最小值，即f(x)有最小值1 296×
＋12 960＝38 882(元)．∴ 当长为16 m，宽为10
m时，总造价最低，为38 882元．

12、解：(1) 设每间虎笼长为xm，宽为ym，

则
面积S＝xy.

由于2x＋3y≥2
＝2
，所以2
≤18，得xy≤
，即S≤
，当且仅当2x＝3y时取等号．

则

所以每间虎笼长、宽分别为4.5m、3m时，可使面积最大．

(2) 设围成四间虎笼的钢筋网总长为lm，则l＝4x＋6y，且xy＝24，所以l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥2×2
＝4
＝4×
＝48(m)，当且仅当2x＝3y时取等号．

故每间虎笼长、宽分别为6m、4m时，可使钢筋网的总长最小为48m.

13、解：(1) x<
，∴ 4x－5<0.

∴ y＝4x－5＋
＋3＝－[(5－4x)＋
]＋3

≤－2
＋3＝1，ymax＝1.

(2) ∵? x>0，y>0且
＋
＝1，

∴? x＋y＝(x＋y)
＝10＋
＋
≥10＋2
＝16，即x＋y的最小值为16.

14、（1）由
，
是锐角，

??

（2）
，

?
,?
（常数）

是首项为
,公比
的等比数列,
，

∴