一、选择题(共50分,每题5分)

1.数列
满足:
,则其前10项的和

A.100 B.101 C.110 D.111

2.命题甲:
或
;命题乙:
,则甲是乙的

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分条件也不必要条件

3.程序框图如右图所示,则该程序运行后输出的值是

A.5 B.6 C.7 D.8

4.已知直线
被双曲线

的两条渐近线所截得线段的长度恰好等于其一个焦点

到渐近线的距离,则此双曲线的离心率为

A.
B.
C.2 D.3

5.设
且
.若
对

恒成立,则的取值范围是

A.
B.

C.
D.

6.在用土计算机进行的数学模拟实验中,一种应用

微生物跑步参加化学反应,其物理速度与时间的关系是

,则

A.
有最小值
B.
有最大值

C.
有最小值
D.
有最大值

7.定义集合与的运算“*”为:
或
,但
,按此定义,

A.
B. C.
D.

8.已知三棱柱
的侧棱
在下底面的射影

与
平行,若
与底面所成角为
,且
,

则
的余弦值为

A.
B.
C.
D.

9.已知
且
,则存在
,使得
的概率为

A.
B.
C.
D.

10.将一个
棋盘中的8个小方格染黑,使每行每列都恰有两个黑格,则不同的染法种数是

A.60 B.78 C.84 D.90

二、填空题(共25分,每题5分)

11.已知
的展开式中
的系数是
,则实数
________.

12.若
,其中
为虚数单位,则
_________.

13.若
对
恒成立,则实数
的取值范围是___________.

14.已知
,
,
,则
与
的夹角的取值范围是______________.

15.设
分别为椭圆:

的左右顶点,为右焦点,
为在点处的切线,为

上异于
的一点,直线
交
于,
为
中

点,有如下结论:①
平分
;②
与椭圆

相切;③
平分
;④使得

的点

不存在.其中正确结论的序号是_________________.

三、解答题(共75分)

16.(12分)有驱虫药1618和1573各3杯,从中随机取出3杯称为一次试验(假定每杯被取到的概率相等),将1618全部取出称为试验成功.

(1)求恰好在第3次试验成功的概率(要求将结果化为最简分数).

(2)若试验成功的期望值是2,需要进行多少次相互独立重复试验?

17.(12分)已知
的定义域为[
].

(1)求
的最小值.

(2)
中,
,
,边的长为函数
的最大值,求角大小及
的面积.

18.(12分)如图,正方体
中,已知

为棱
上的动点.

(1)求证:
⊥
.

(2)当为棱
的中点时,求直线
与平面
所成角的正弦值.

19.(12分)设
,用
表示
当
时的函数值中整数值的个数.

(1)求
的表达式.

(2)设
,求
.

(3)设
,若
,求
的最小值.

20.(13分)设
:

的准线与轴交于点
,焦点为
;椭圆

以
为焦点,离心率
.设

是
的一个交点.

(1)当
时,求椭圆
的方程.

(2)在(1)的条件下,直线
过
的右

焦点
,与
交于
两点,且

等于
的周长,求
的方程.

(3)求所有正实数,使得
的边长是连续正整数.

21.(14分)设函数
的定义域是
,其中常数
.

(1)若
,求
的过原点的切线方程.

(2)当
时,求最大实数,使不等式
对
恒成立.

(3)证明当
时,对任何
,有
.

理科参考解答

一、CBACD,BACDD

9.解.可行域是一个三角形,面积为2;又直线系与圆
相切,故该三角形不被该直线系扫到的部分是一个半径为
圆心角为
的扇形,面积为
,从而被直线系扫到部分的面积为
,故所求概率为.

15.解.由上次中根出的题知①成立;写出椭圆在点处的切线知②成立;于是
平分
,故③不成立;若
,则
为
的斜边中线,
,这样的有4个,故④不成立.

三、16.解.(1)从6杯中任选3杯,不同选法共有
种,而选到的3杯都是1618的选法只有1种,从而一次试验成功的概率为
.

故前两次试验都没成功,第3次才成功的概率为
.

(2)假设连续试验次,则试验成功次数
,从而其期望为
,再由
可解出
.

17.解.(1)先化简
的解析式:

由
,得
,

所以函数
的最小值
,此时
.

(2)由(1)知函数
的最大值
,即
.

中,
,
,
,故
(正弦定理),再由
知
,故
,于是