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2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数学Ⅰ

参考公式：

圆柱的侧面积公式：
，其中
是圆柱底面的周长，
为母线长.

圆柱的体积公式：
, 其中
是圆柱的底面积,
为高.

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

1. 已知集合A={
}，
，则
▲ .

2. 已知复数
(i为虚数单位),则
的实部为 ▲ .

3. 右图是一个算法流程图,则输出的
的值是 ▲ .

4. 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是 ▲ .

5. 已知函数
与
(0≤
),它们的图象有一个横坐标为
的交点,则
的值是 ▲ .

6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有 ▲ 株树木的底部周长小于100cm.

【考点】频率分布直方图．

7. 在各项均为正数的等比数列
中,

,则
的值是 ▲ .

8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为
，
，体积分别为
，
，若它们的侧面积相等，且
，则
的值是 ▲ .

9. 在平面直角坐标系
中,直线
被圆
截得的弦长为 ▲ .

10. 已知函数
若对于任意
,都有
成立,则实数
的取值范围是 ▲ .

11. 在平面直角坐标系
中，若曲线
(a，b为常数)过点
，且该曲线在点P处的切线与直线
平行，则
的值是 ▲ .

12. 如图，在平行四边形
中，已知
，
，
，
，则
的值是 ▲ .

13. 已知
是定义在R上且周期为3的函数,当
时,
.若函数
在区间
上有10个零点(互不相同),则实数
的取值范围是 ▲ .

14. 若△
的内角满足
,则
的最小值是 ▲ .

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.(本小题满分14分)

已知
,
.

(1)求
的值；

(2)求
的值.

16.(本小题满分14分)

如图，在三棱锥
中，
，E，F分别为棱
的中点.已知
,

求证: (1)直线
平面
；

(2)平面
平面
.

17.(本小题满分14分)

如图,在平面直角坐标系
中,
分别是椭圆
的左、右焦点，顶点
的坐标为
，连结
并延长交椭圆于点A，过点A作
轴的垂线交椭圆于另一点C，连结
.

(1)若点C的坐标为
,且
,求椭圆的方程；

(2)若
求椭圆离心率e的值.

18.(本小题满分16分)

如图,为了保护河上古桥
,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆.且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m. 经测量，点A位于点O正北方向60m处, 点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),
.

(1)求新桥BC的长；

(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大？

19.(本小题满分16分)

已知函数
,其中e是自然对数的底数.

(1)证明:
是R上的偶函数；

(2)若关于
的不等式
≤
在
上恒成立，求实数
的取值范围；

(3)已知正数
满足：存在
，使得
成立.试比较
与
的大小，并证明你的结论.

20.(本小题满分16分)

设数列
的前
项和为
.若对任意正整数
，总存在正整数
，使得
，则称
是“H数列”.

(1)若数列
的前n项和
(
N
),证明:
是“H数列”;

(2)设
是等差数列,其首项
,公差
.若
是“H数列”,求
的值；

(3)证明：对任意的等差数列
，总存在两个“H数列”
和
，使得

(
N
)成立.

【解析】（1）首先
，当
时，
，所以
，所