2013---2014学年豫东、豫北十所名校高中毕业班阶段性测试（六）

高三数学(文科)·答案

（18）解：（Ⅰ）如图，作
平面
于
，

作
平面
于
，连接
.

因为
与
都是正三棱锥，

则
，
分别为
与
的中心，

所以
且
，……………………………………………………………（3分）

所以四边形
是平行四边形，所以
.

又
平面
，
，所以
平面
，……………（6分）

（Ⅱ）如图，连接
，依题意可知，线段
在直线
上，故
，又
，
，则
平面
.设
与
的交点为，连接
，则
平面
.

计算易得
，

所以
，

，……………………………………（10分）

故

………………………（12分）

（19）解：（Ⅰ）由频率分布直方图知第七组的频率为：

.…………（2分）

补充完整的频率分布直方图如图：

…………………………………………………………………………………………………（3分）

（Ⅱ）估计该校的2000名学生这次考试数学成绩的平均分为：

…………………………………………………………………………………………………（6分）

（Ⅲ）第六组有学生3人，分别记作
，第八组有学生2人，分别记作
.

则从中随机抽取2人的所有基本事件为：

，

共10个．

分差在10分以上，表示所选2人来自不同组，其基本事件有6个：
.

所以从中随机抽取2人，分差在10分以上的概率为
.………………………（12分）

（21）解：（Ⅰ）由题意设
的方程为：
，

则
，即
，又
，解得
.

所以椭圆
的标准方程为
.……………………………………………………（4分）

（Ⅱ）设
，
，

则
，所以
，

因为点
在椭圆上，所以
，

即
，整理得

，又点在椭圆上，所以
，从而可得
，①

又因为
，故有
，

同理可得
，②

②①得，
.

因为点不在坐标轴上，所以
，

又易知
不与坐标轴平行，所以直线
的斜率
，为定值.

………………………………………………………………………………………………（12分）

（23）解：（Ⅰ）易求得直线
，圆
：
，

依题意，有
，解得
或
. ………………………………（5分）

（Ⅱ）因为直线
过点
，所以
，可得圆
：
，所以圆心
到直线
的距离为
，故弦长为
.…（10分）

分）