2014.5.24

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合
其中
，集合
，则集合B的元素至多有

A．个 B．
个 C．
个 D．
个

2.已知i是虚数单位,且
,则在复平面内,z的共轭复数对应的点在

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3．输入
，经过下列程序运算后，

A.
B．

C．
D．

已知锐角
满足：

，则
的大小关系是

A．
B．

C．
D.

5、已知斜三棱柱的三视图如图所示，该斜三棱柱的体积为

A.2 B.4 C.
D.

6、如图，
是半圆
的直径，
是弧
的三等分点，
是线段
的三等分点，若
，则
的值是

A.2 B.10 C.26 D.28

7、在等腰△
中，是腰
的中点，若
，则
=

A.
B.
C.
D.

8．从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数能被3整除的概率为

　A.
　　　　B、
　　　　C、
　　　　　D、

9.设
，则

A ．a＞b＞c　　 B、a＞c＞b　　 　C、b＞c＞a　　 　 D、c＞b＞a

高为
的四棱锥
的底面是边长为1的正方形，点
、、、
、均

在半径为1的同一球面上，则底面
的中心与顶点
之间的距离为

A．
B．
C．
D．

11、已知双曲线
的中心为
，过其右焦点的直线与两条渐近线交于
两点，
与
同向，且
,若
,则双曲线的离心率为

B.
C.
D.

12.已知集合
，若对于任意
，存在
，使得
成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：

①
；②
；

③
；④
．

其中是“垂直对点集”的序号是

A．①② B．②③ C．①④ D．②④

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13.设
，则
的最小值是__________.

14、设不等式组
表示的平面区域为M，不等式组
表示的平面区域为N.在M内随机取一个点，这个点在N内的概率的最大值是_________.

15、已知直线
与函数
的图像交于
两点，且线段
与函数
的图像围成的图形面积为
，则线段
的中点的轨迹方程为 。

16若对任意
，
，（、
）有唯一确定的
与之对应，称
为关于、的二元函数. 现定义满足下列性质的二元函数
为关于实数、的广义“距离”: （1）非负性:
，当且仅当
时取等号；

（2）对称性:
；

（3）三角形不等式:
对任意的实数z均成立.

今给出四个二元函数:①
；②
③
；④
.则能够成为关于的、的广义“距离”的函数的所有序号是 .

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤

17已知数列
中，
(n∈N*)．

（1）求数列
的通项公式，

（2）求数列
的前项和
．

18.某工厂生产A、B两种型号的产品，每种型号的产品在出厂时按质量分为一等品和二等品. 为便于掌握生产状况，质检时将产品分为每20件一组，分别记录每组一等品的件数. 现随机抽取了5组的质检记录，其一等品数如下面的茎叶图所示：

（1）试根据茎叶图所提供的数据，分别计算A、B两种产品为一等品的概率PA、PB；

（2）已知每件产品的利润如表一所示，用
、分别表示一件A、B型产品的利润，在（1）的条件下，求
、的分布列及数学期望（均值）
、
；

（3）已知生产一件产品所需用的配件数和成本资金如表二所示，该厂有配件30件，可

用资金40万元，设、分别表示生产A、B两种产品的数量，在（2）的条件下，求、

为何值时，
最大？最大值是多少？（解答时须给出图示）

19、如图，在四棱柱
中，底面
和侧面
都是矩形，是
的中点，
，
.

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求证：
// 平面
；

（Ⅲ）若平面
与平面
所成的锐二面角的大小为
，求线段
的长度.

20、已知点
位于直线
右侧，且到点
的距离与到直线
的距离之和等于4.

（1）求动点
的轨迹
；

（2）直线
过点
交曲线
于
两点，点满足
，
，又
，其中
为坐标原点，求
的取值范围；

（3）在（2）的条件下，
能否成为以
为底的等腰三角形？若能，求出此时直线
的方程；若不能，请说明理由.

21．已知函数
（其中为常数）.

(1)当
时，求函数的单调区间；

（2）当
时，对于任意大于的实数，恒有
成立，求实数
的取值范围；

(3)当
时，设函数
的3个极值点为
，且
.

求证：
＞
.

22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图,△
内接于⊙,
,直线
切⊙于点,弦
,
相交于点.

(1)求证:△
≌△
;

(2)若
,求
长.

23．（本题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程

已知曲线
(t为参数)，
(
为参数)．

（Ⅰ）化
，
的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（Ⅱ）过曲线
的左顶点且倾斜角为
的直线
交曲线
于
两点，求
．

24．（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数
.

（Ⅰ）若
的最小值为3，求值；

（Ⅱ）求不等式
的解集．

理科数学试题答案

解答题

18\解：(1) 由茎叶图知
；……1分

. …………………2分

（2）随机变量
、的分布列是

4

3



P

0.68

0.32





3

2



P

0.71

0.29





………4分

∴
，
. ………6分

（3）由题设知
，目标函数为

，

………………………8分

作出可行域如图所示…………………10分

作直线l：
，

将向l右上方平移至l1位置时，即直线经过可行域上的点M时，
取最大值.

解方程组
，得
，
，

即
，
时，取最大值，最大值是22.85. ………………12分

（Ⅱ）证明：因为
，所以四边形
是平行四边形.

连接
交
于点，连接
，则为
的中点.

在
中，因为
，
，

所以
. ………………5分

又因为
平面
，
平面
，

所以
平面
. ………………7分

（Ⅲ）解：由（Ⅰ）可知
，

又因为
，
，

所以
平面
. ………………8分

设G为AB的中点，以E为原点，EG，EC，
所在直线分别为x轴，y轴，z轴

如图建立空间直角坐标系，

设
，则
.

设平面
法向量为
，

因为
，

由
得

令
，得
. ………………9分

设平面
法向量为
，

因为
，

由
得

令
，得
. ………………10分

由平面
与平面
所成的锐二面角的大小为
，

得
， ………………11分

解得
. ………………12分

20、解：（1）设
，则
，即

化简