数学试题(理科)答案

1．【答案】

【解析】
，
，由韦恩图可知阴影部分表示的是
∴阴影部分表示的集合为
，故选．

2．【答案】

【解析】由图可知，
，
，则
，∴
，故选．

3．【答案】

【解析】A选项，可能
，B选项，若
，则
，无条件
，直线与平面位置关系不确定，C选项，在空间中，
与可能平行，可能异面，可能相交，故选．

4．【答案】

【解析】由约束条件
，作出可行域如图，

设
，则
，平移直线
，

当经过点
时，取得最大值，当经过点
时，

取得最小值
，故选．

5．【答案】

【解析】由程序框图，输入
，第次进入循环体，
，第次进入循环体，
，第
次进入循环体，
，
成立，输出结果
，故选．

6．【答案】

【解析】
，即
，解得
或
，又
，∴
，又

，故选．

7．【答案】

【解析】观察茎叶图，甲班学生成绩的平均分是
，故
，乙班学生成绩的中位数是
，故
，∴
，故选．

8．【答案】

【解析】
，∴
，
，故切线
方程为：
，

又
表示的是以
为圆心，以为半径的圆，圆心
到
的距离
，∴直线
上的任意点与圆
上的任意点
之间的最近距离是
，故选．

9．【答案】

【解析】在
△
中，
，则
，
，由双曲线定义可知：
，即
，化简得
，故选．

10．【答案】

【解析】由题可知，图1中的虚线长为图2正四棱锥的底面边长，设为，又正四棱锥的正视图是正三角形，所以正四棱锥的斜高也为，则
，
，即正四棱锥的底面边长为
，

易得四棱锥的体积
，故选
．

11．【答案】

【解析】令
，
，
分别得
，
，
，则
分别为函数
的图象与函数
，
，
的图象交点的横坐标，在同一平面直角坐标系下作出它们的图象，易得
，
，
，故选．

12．【答案】

【解析】

，故选
．

13．【答案】

【解析】设大米质量为，则
，则
，∴质量不足
的概率即
．

14．【答案】

【解析】设
，则
，
，

∴
化简得：
①

又a，b在非零向量c上的投影相等，则
，即
②

由①②联立得：∴
，
，∴
．

15.【答案】

【解析】
,
,
,　
,由归纳推理得，一般结论为
，

．

16．【答案】

【解析】设4个实数根依次为
，由等比数列性质，不妨设
为
的两个实数根，则
为方程
的两个根，由韦达定理
，
，
,故

,设
，∵
，∴
，故
的值域为
，即
的取值范围是
．

17．【解析】（1）由题意可知

由于
，则
，∴
，即
………2分

又由于
，且
，则
，∴
………5分

即
． ………6分

（2）
，
则
，∴
………8分

由余弦定理得
，∴
………10分

∴
，当且仅当
时，等号成立，故
的最大值为
．…12分

18．【解析】（1）∵
，
，∴
，

∴
………3分

………5分

∴线性回归方程
． ………6分

（2）①由（1）知
，∴变量与之间是正相关． ………9分

②由（1）知，当
时，
（万元），即使用年限为
年时，支出的维修费约是
万元．

………12分

19．【解析】（1）证明：∵底面
和侧面
是矩形，

∴
，

又∵

∴
平面
………3分

∵
平面
∴
． ………6分

（2）解法1：延长
，
交于，连结
，则平面

平面

底面
是矩形，是
的中点，
，∴连结
，则

又由（1）可知

又∵
，

∴
底面
，∴
∴
平面
………9分

过作
于
，连结
，则
是平面
与平面
即平面
与平面
所成锐二面角的平面角，所以

又
，∴

又易得
，
，从而由
，求得
． ………12分

解法2：由（1）可知

又∵
，
∴
底面
………7分

设
为
的中点，以为原点，以
，
，
所在直线分别为
轴，建立空间直角坐标系如图． ………8分

设
，则
，
，
，
，

设平面
的一个法向量

∵
，

由
，得

令
，得
………9分

设平面
法向量为
，因为
，
，

由
得
令
，得
． ………10分

由平面
与平面
所成的锐二面角的大小为
，

得
，解得
． 即线段
的长度为．……12分

20．【解析】（1）由题意，
，即
，
，即
………2分

又
得：

∴椭圆
的标准方程：
． ………5分

(2)①当直线
的斜率不存在时，直线
的方程为

联立
，解得
或
，

不妨令
，
，所以对应的“椭点”坐标
，
．

而

所以此时以
为直径的圆不过坐标原点． ………7分

②当直线
的斜率存在时，设直线
的方程为

消去得，

设
，则这两点的“椭点”坐标分别为

由根与系数关系得：
………9分

若使得以
为直径的圆过坐标原点，则

而
，∴

即
，即

代入
，解得：

所以直线方程为
或
． ………12分

21．【解析】(1)
时，
，

令
，
，∴
在
上为增函数 ………3分

，∴当
时，
，得证． ………6分

(2)

令
，
，
时，
，
时，

即
在
上为减函数，在
上为增函数 ………9分

∴
①

令

，
，

∴
时，
，
时，
即
在
上为减函数，在