2013-2014-2天津一中高三年级数学第五次月考检测试卷（理）

一、选择题．（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.
是虚数单位，若复数
，则
的共轭复数
在复平面内对应的点在（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 已知实数
满足
，则目标函数
的最小值为（ ）

A. 5 B. 6

C. 7 D. -2

3. 执行右边的框图，若输入的N是6，则输出p的值是（ ）

A. 120 B. 720

C. 1440D. 5040

5. 已知双曲线的一个焦点与抛物线
的焦点重合，且其渐近线的方程为
，则该双曲线的标准方程为（ ）

A.
B.
C.
D.

6. 在
中，角
所对的边分别为
，且满足
，则
的最大值是（ ）

A.
B.
C.
D.

7. 若正数a，b满足
，则
的最小值为（ ）

A. 16 B. 25 C. 36 D. 49

8. 定义域为
的偶函数
满足对
，有
，且当
时，
，若函数
在
上至少有三个零点，则
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题．（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分）

9. 某校共有学生1000名，其中高一年级有380名，高二年级有男生180名，已知在全校学生中抽取1名，抽到高二年级女生的概率为0.19，先采用分层抽样（按年级分层）在全校抽取100名，则应在高三年级抽取的人数为______________．

10. 如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形（单位：cm），则该三棱锥的外接球表面积为______________
．

11. 曲线
的极坐标方程
，曲线
的参数方程为
，以极点为原点，极轴为
轴正半轴建立直角坐标系，则曲线
上的点与曲线
上的点最近的距离为______．

12. 在
的展开式中，各项系数的和是64，那么此展开式中含
项的系数为_______．

13. 如图，已知点
在
直径
的延长线上，
与
相切于点
，若
，则
______________．

14. 在
中，
，
为
的外心，
为劣弧
上的一个动点，且
（
），则
的取值范围为______________．

三、解答题．（本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 已知函数
．

（Ⅰ）求
的最小正周期及单调递减区间；

（Ⅱ）若
在区间
上的最大值与最小值的和为
，求
的值．

16. 在上海世博会期间，小红计划对事先选定的10个场馆进行参观．在她选定的10个场馆中，有4个场馆分布在A片区，3个场馆分布在B片区，3个场馆分布在C片区．由于参观的人很多，在进入每个场馆前都需要排队等候．已知A片区的每个场馆的排队时间为2小时，B片区和C片区的每个场馆的排队时间都为l小时．参观前小红突然接到公司通知，要求她一天后务必返回，于是小红决定从这10个场馆中随机选定3个场馆进行参观．

（Ⅰ）求小红每个片区都参观1个场馆的概率；

（Ⅱ）设小红排队时间总和为
(小时)，求随机变量
的分布列和数学期望
．

17. 如图，
为矩形，
为梯形，平面
⊥平面
，
，
，
．

（Ⅰ）若
为
中点，求证：
∥平面
；

（Ⅱ）求直线
与平面
所成角的正弦值；

（Ⅲ）在线段
上是否存在一点
（除去端点），使得平面
与平面
所成锐二面角的大小为
？若存在，请说明点
的位置；若不存在，请说明理由．

18. 已知数列
是公比大于1的等比数列，
是数列
的前
项和，满足
，且
，
，
构成等差数列，数列
满足
，

．

（Ⅰ）求数列
的通项公式
；

（Ⅱ）证明：

；

（Ⅲ）证明：

．

19. 已知中心在坐标原点的椭圆
的方程为
，它的离心率为
，一个焦点是
，过直线
上一点
引椭圆
的两条切线，切点分别为
．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若在椭圆
上的点
处的切线方程是
，求证：直线
恒过定点
；

（Ⅲ）是否存在实数
，使得
恒成立？（点
为直线
恒过的定点）若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．

参考解答

一、选择题．（本大题共8小题，每小题5分，共40分．）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

A

D

B

B

C

A

A

B



二、填空题．（本大题共6小题，每小题5分，共30分．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分）

9.

25

10.



11.





12.

135

13.



14.





三、解答题．（本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 解：

（Ⅰ）
，
，

的单调递减区间是
，其中
．

（Ⅱ）由已知得
，所以
．

可以得到
，所以
．

16. 解：

（Ⅰ）设“小红每个片区都参观1个场馆”为事件
，则
；（4分）

（Ⅱ）
可能的取值为3，4，5，6．（5分）

；
；

；
．（9分）

的分布列为：
（11分），数学期望
．（13分）

17. 解：（Ⅰ）连结PC，交DE于N点，连结MN，

∵△PAC中，M，N分别为PA、PC的中点，∴MN∥AC因为MN?面MDE，又AC?面MDE，

所以AC∥平面MDE；

（Ⅱ）以D为空间坐标系的原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则
，

记平面PBC的法向量为
，由
，

令
可得
。设直线
与平面
所成角为
，那么

；

（Ⅲ）假设在线段
上存在一点
，满足
，

可知
，
，
。

设平面
的法向量为
，由
，令
可得
。

若
使得平面
与平面
所成锐二面角的大小为
，则

，解得
或
．

由于
不为端点，则
。因此PC上存在靠近C点的三等分点Q，满足题意。

18. 解：

（Ⅰ）由题意得
，化简得
，

解得
或
（舍），所以
；

（Ⅱ）证明：
时，由已知可得

，

所以
，
，原题得证；

（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知
，则

19.

20.