2014北京市高考压轴卷理科数学

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1.已知
，其中
是实数，
是虚数单位，则
的共轭复数为（ ）

A．
B．
C．
D．

2.已知函数
，
，且
，
，
，则
的值为

A.正 B.负 C.零 D.可正可负

3.已知某几何体的三视图如下，则该几何体体积为（ ）

A．4+
B．4+
C．4+
D．4+

4.如图所示为函数
的部分图像，其中A，B两点之间的距离为5，那么
( )

A．-1 B．

C．
D．1

5.（5分）已知两条不重合的直线m、n和两个不重合的平面α、β，有下列命题：

①若m⊥n，m⊥α，则n∥α；

②若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；

③若m、n是两条异面直线，m
α，n
β，m∥β，n∥α，则α∥β；

④若α⊥β，α∩β=m，n
β，n⊥m，则n⊥α．

其中正确命题的个数是（　　）

A．

1

B．

2

C．

3

D．

4



6.设函数
是定义在
上的可导函数，其导函数为
，且有
，则不等式
的解集为

A．
???? B．
????? C．
? ??? D．

7.已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆
的两个焦点，P为椭圆上一点且
，则此椭圆离心率的取值范围是（　　）

A．



B．



C．



D．





8.已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（1+x）=f（1﹣x），且x∈[0，1]时，
，则方程
在区间[﹣3，3]上的根的个数为（　　）

A．

5

B．

4

C．

3

D．

2























二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡的相应位置．

9.已知集合
，若
，则实数
的值为________________.

10.已知如图所示的流程图(未完成)，设当箭头a指向①时输出的结果S＝m，当箭头a指向②时，输出的结果S＝n，求m＋n的值．

11.若
是等差数列
的前
项和,且
，则
的值为 ．

12.
展开式中有理项共有　 　 项．

13.在平面直角坐标系
中，过坐标原点的一条直线与函数
的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是_______

14.设a∈R，若x＞0时均有[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）≥0，则a=　　．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．

15.已知向量
．记

(I)求
的周期；

(Ⅱ)在
ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足(2a—c)
B=b
， 若
，试判断
ABC的形状．

16.在一次对某班42名学生参加课外篮球、排球兴趣小组（每人参加且只参加一个兴趣小组）情况调查中，经统计得到如下2×2列联表：（单位：人）

篮球

排球

总计



男同学

16

6

22



女同学

8

12

20



总计

24

18

42



（Ⅰ）据此判断是否有95%的把握认为参加“篮球小组”或“排球小组”与性别有关？

（Ⅱ）在统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从两个兴趣小组中随机抽取7名同学进行座谈．已知甲、乙、丙三人都参加“排球小组”．

①求在甲被抽中的条件下，乙丙也都被抽中的概率；

②设乙、丙两人中被抽中的人数为X，求X的分布列及数学期望E(X)．

下面临界值表供参考：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001



k0

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828



参考公式：

命题意图:考查分类变量的独立性检验，条件概率，随机变量的分布列、数学期望等，中等题.

17.已知正四棱柱
中，
.

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值；

（Ⅲ）在线段
上是否存在点
，使得平面

平面
，若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.

18.已知椭圆
的左右焦点分别为
，点
为短轴的一个端点，
.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）如图，过右焦点
，且斜率为
的直线
与椭圆
相交于
两点，
为椭圆的右顶点，直线
分别交直线
于点
，线段
的中点为
，记直线
的斜率为
.

求证:
为定值.

19.已知数列
的各项均为正数，记
,
,

.

（Ⅰ）若
，且对任意
，三个数
组成等差数列，求数列
的通项公式.

（Ⅱ）证明：数列
是公比为
的等比数列的充分必要条件是：对任意
，三个数
组成公比为
的等比数列.

20.已知函数
（
）.（Ⅰ）当
时，求
的图象在
处的切线方程；（Ⅱ）若函数
在
上有两个零点，求实数
的取值范围；

（Ⅲ）若函数
的图象与
轴有两个不同的交点
，且
，

求证：
（其中
是
的导函数）．

2014北京市高考压轴卷数学理word版参考答案

1. 【答案】D

【解析】
故选D．

2. 【答案】B

【解析】∵
，∴函数
在R上是减函数且是奇函数，

∵
，∴
，∴
，∴
，∴
，

同理：
，
，∴
.

3. 【答案】A

【解析】该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分
，所以该几何体的体积为
．故选A．

4. 【答案】A.

【解析】

5. 【答案】C

【解析】①若m⊥n，m⊥α，则n可能在平面α内，故①错误

②∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α，又∵n⊥β，∴α∥β，故②正确

③过直线m作平面γ交平面β与直线c，

∵m、n是两条异面直线，∴设n∩c=O，

∵m∥β，m
γ，γ∩β=c∴m∥c，

∵m
α，c
α，∴c∥α，

∵n
β，c
β，n∩c=O，c∥α，n∥α

∴α∥β；故③正确

④由面面垂直的性质定理：∵α⊥β，α∩β=m，n
β，n⊥m，∴n⊥α．故④正确

故正确命题有三个，

故选C

6. 【答案】C.

【解析】由
，
得：
，即
，令
，则当
时，
，即
在
是减函数，
?，
，
，

在
是减函数，所以由
得，
，即
，故选

7. 【答案】C.

【解析】设P（m，n ），
=（﹣c﹣m，﹣n）?（c﹣m，﹣n）=m2﹣c2+n2，

∴m2+n2=2c2，n2=2c2﹣m2 ①．

把P（m，n ）代入椭圆
得 b2m2+a2n2=a2b2 ②，

把①代入②得 m2=
≥0，∴a2b2≤2a2c2，

b2≤2c2，a2﹣c2≤2c2，∴
≥
．

又 m2≤a2，∴
≤a2，∴
≤0，

a2﹣2c2≥0，∴
≤
．

综上，
≤
≤
，

故选 C．

8. 【答案】A.

【解析】由f（1+x）=f（1﹣x）可得函数f（x）的图象关于x=1对称，

方程
在区间[﹣3，3]根的个数等价于f（x）与y=
图象的交点的个数，

而函数y=
图象可看作y=
的图象向下平移1个单位得到，

作出它们的图象如图：

可得两函数的图象有5个交点，

故选A

9. 【答案】a=-1.

【解析】?若a-3=-3,则a=0，此时：

,
,与题意不符，舍

?若2a-1=-3,则a=-1，此时：

，
，
a=-1

?若a2+1=-3,则a不存在

综上可知：a=-1

10. 【答案】20.

【解析】当箭头指向①时，计算S和i如下．

i＝1，S＝0，S＝1；

i＝2，S＝0，S＝2；

i＝3，S＝0，S＝3；

i＝4，S＝0，S＝4；

i＝5，S＝0，S＝5；

i＝6结束．

∴S＝m＝5．

当箭头指向②时，计算S和i如下．

i＝1，S＝0， S＝1；

i＝2，S＝3；

i＝3，S＝6；

i＝4，S＝10；

i＝5，S＝15；

i＝6结束．

∴S＝n＝15．

∴m＋n＝20．

11. 【答案】44

【解析】由
,解得
,又由

12. 【答案】3.

【解析】
展开式通项公式为Tr+1=
=

若为有理项时，则
为整数，

∴r=0、6、12，故展开式中有理项共有3项，

故答案为：3

13.【答案】4.

【解析】设过坐标原点的一条直线方程为
，因为与函数
的图象交于P、Q两点，所以
，且联列解得
，所以

14. 【答案】

【解析】（1）a=1时，代入题中不等式明显不成立．

（2）a≠1，构造函数y1=（a﹣1）x﹣1，y2=x 2﹣ax﹣1，它们都过定点P（0，﹣1）．

考查函数y1=（a﹣1）x﹣1：令y=0，得M（
，0），

∴a＞1；

考查函数y2=x 2﹣ax﹣1，显然过点M（
，0），代入得：
，

解之得：a=
，或a=0（舍去）．

故答案为：

15. 【解析】

（I）

（Ⅱ 根据正弦定理知：

∵
∴
或

或

而

，所以
，因此
ABC为等边三角形.……………12分

16. 【解析】

（Ⅰ）由表中数据得K2的观测值

k

≈4.582>3.841. ……2分

所以，据此统计有95%的把握认为参加“篮球小组”或“排球小组”与性别有关．……4分

（Ⅱ）①由题可知在“排球小组”的18位同学中，要选取3位同学．

方法一：令事件A为“甲被抽到”；事件B为“乙丙被抽到”，则

P(A∩B)

，P(A)

.

所以P(B|A)




. ……7分

方法二：令事件C为“在甲被抽到的条件下，乙丙也被抽到”，

则P(C)



.

②由题知X的可能值为0，1，2.

依题意P(X
0)


；P(X
1)


；P(X
2)


.

从而X的分布列为

X

0

1

2



P









 ……10分

于是E(X)
0×＋1×＋2×

. ……12分

17. 【解析】证明：(Ⅰ)因为
为正四棱柱，

所以
平面
，且
为正方形. ………1分

因为
平面
，

所以
. ………2分

因为
,

所以
平面
. ………3分

因为
平面
,

所以
. ………4分

(Ⅱ) 如图，以
为原点建立空间直角坐标系
.则

………5分

所以
.

设平面
的法向量
.

所以
.即
……6分

令
，则
.

所以
.

由（Ⅰ）可知平面
的法向量为
. ……7分

所以
. ……8分

因为二面角
为钝二面角，

所以二面角
的余弦值为
. ………9分

(Ⅲ)设
为线段