数 学（供理科考生使用）

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

DAABB DACBB BB

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题-第22题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题-第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

（13）
（14）-6 （15）32 （16）

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

已知函数
.

(1)求
的单调递增区间；

(2)在
中，三内角
的对边分别为
，已知
,
,
.求的值.

…………………………………………3分

18．（本小题满分12分）

如图，四棱锥P—ABCD中，
为边长为2的正三角形，底面ABCD为菱形，且平面PAB⊥平面ABCD，
，E为PD点上一点，满足

(1)证明：平面ACE平面ABCD；

(2)求直线PD与平面ACE所成角正弦值的大小．

所以以
为坐标原点建立如图的空间直角坐标系，则

19．（本小题满分12分）

PM2. 5是指大气中直径小于或等于2. 5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物. 虽然PM2.5只是地球大气成分中含量很少的组分，但它对空气质量和能见度等有重要的影响。我国PM2. 5标准如表1所示.我市环保局从市区四个监测点2012年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图如图4所示。

（1）从这15天的数据中任取3天的数据，记表示其中空气质量达到一级的天数为
， 求
的分布列和数学期望；

（2）以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年(按360天计算）中大约有多少天的空气 质量达到一级.

解：（1）依据条件，
的可能值为
，

当
时，
， 当
时，

当
时，
， 当
时，



1



















所以其分布列为：

………………(6分)

数学期望为：
……………… (8分)

（Ⅱ）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为
，

一年中空气质量达到一级的天数为，则
， ……………… (10分)

∴
（天）

所以一年中平均有
天的空气质量达到一级. ……………… (12分)

20．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系
中，点
为动点，
分别为椭圆
的左右焦点．已知△
为等腰三角形．（1）求椭圆的离心率；（2）设直线
与椭圆相交于
两点，
是直线
上的点，满足
，求点
的轨迹方程．

将
代入
得
，

------12分

21．（本小题满分12分）

设函数
，
．（注：e为自然对数的底数．）

(1)当
时，求
的单调区间；

(2)(i)设
是
的导函数，证明：当
时，在
上恰有—个
使得

(ii)求实数a的取值范围，使得对任意的
，恒有
成立．

解：(1)当
时，
…………1分

，令
得：
；令
得：

所以函数
的减区间是
；增区间是
…………3分

(2)(i)证明：

，且
，

令
得：
；令
得：

则函数
在
上递减；在
上递增 ………5分

，又

所以函数
在
上无零点，在
上有惟一零点

因此在
上恰有一个
使得
. …………8分

(ii)若
，则
，对
恒成立，

故函数
在
上是增函数，
，因此函数
在
内单调递增，

而
，
，不符题意。

，由(i)知
在
递减，
递增，

设
在[0，2]上最大值为M，则
，

故对任意的
，恒有
成立等价于
， ……10分

由
得：
，
，

又
，
。 ……12分

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ACD的外接圆交于BC于点E，AB＝2AC．

（Ⅰ）求证：BE＝2AD；

（Ⅱ）当AC＝1,EC＝2时，求AD的长．

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为
（t为参数）.曲线C的极坐标方程为ρ
＝8cosθ．

（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）设直=-与曲线C交于A，B两点，与x轴的交点为F，求
＋
的值．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设

（Ⅰ）求函数
的定义域；

（Ⅱ）若存在实数满足，
,试求实数的取值范围.

解：（1）
，

2-
，
，解得定义域定义域
……5分

设
，如图所示

或
时符合题意。

………10分