一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）已知全集
为实数集，集合
，集合
，则图中阴影部分表

示的集合为 （ ）

A.
B.
C.
D.

（2）已知是虚数单位，若
，则复数
在复平面内对应的点位于（ ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

（3）已知向量
，则向量
与
夹角
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

（4）过抛物线
的焦点作一条直线与抛物线相交于
两点,它们到直线
的距离之和等于
，则这样的直线（ ）

A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.有无穷多条 D.不存在

（5）为了了解我校今年新入学的高一A班学生的体重情况，将所得的

数据整理后，画出了频率分布直方图(如右图)，已知高一A班学生人数

为48人，图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，则第2小

组的频数为（ ）

A.16 B.14 C.12 D.11

（6）已知命题p:函数
的图象的对称中心坐标为
；命题q：若函数
在区间
上是增函数，则有
成立.下列命题为真命题的是( )

A.
B.

C.
D.

（7）若
表示不超过的最大整数，执行如图所示的程序框图，

则输出的值为 （ ）

A.4 B.5 C.7 D.9

（8）已知点
是双曲线

右支上动点，双曲

线
的过点的切线分别交两条渐近线于点
，则
的面积是（ ）

A.随的增大而增大 B. 随的增大而减小 C.
D.

（9）设等差数列
，
的前项和分别为
，
，且满足
，则
的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

（10）设函数
，若关于的方程
恰有
个不同的实数解
，则
的值为（ ）

A.
B.
C. D.

（11）已知四棱柱
中，侧棱
，
，底面
的边长均大于2，且
，点在底面
内运动且在
上的射影分别为
，
，若
，则三棱锥
体积的最大值为（ ）

A.
B.
C.
D.

(12) 定义在
上的函数
,
是它的导函数,且恒有
成立,则（　　）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．

（13）如图，已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体

的最长的棱长为________(cm).

（14）数列
的首项为，数列
为等比数列且
，若
，则
的值为______.

（15）若
是两个非零向量,且
,则
与
的夹角的 取值范围是____.

(16) 已知
且
,则使方程
有解时的
的取值范围为______.

三、解答题：本大题共6小题，共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（17）(本小题满分12分)

在△ABC中，A、B、C的对边为、b、c，且
．

（Ⅰ）求角B的最大值；

（Ⅱ）设向量
，
，求
的取值范围.

（18）(本小题满分12分)

如图，在四棱锥
中，侧面
底面
，且
，
，
，是
的中点．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值．

（19）（本小题满分12分）

为了让贫困地区的孩子们过一个温暖的冬天，某校阳光志愿者社团组织“这个冬天不再冷”

冬衣募捐活动，共有50名志愿者参与. 志愿者的工作内容有两项：①到各班做宣传，倡议同学们积极捐献冬衣；②整理、打包募捐上来的衣物. 每位志愿者根据自身实际情况，只参与其中的某一项工作. 相关统计数据如下表所示：

到班级宣传

整理、打包衣物

总计



20人

30人

50人



（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从参与两项工作的志愿者中抽取5人，再从这5人中选2人，那么“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率是多少?

（Ⅱ）若参与班级宣传的志愿者中有12名男生，8名女生，从中选出2名志愿者，用
表示所选志愿者中的女生人数，写出随机变量
的分布列及数学期望.

（20）(本小题满分12分)

已知双曲线C：
的左、右两个顶点分别为、．曲线
是以、两点为短轴端点，离心率为
的椭圆．设点在第一象限且在曲线
上，直线
与椭圆
相交于另一点．

（Ⅰ）设点、的横坐标分别为
、
，证明：
；

（Ⅱ）设
与
（其中
为坐标原点）的面积分别为
与
，且
，求
的最大值．

（21）(本小题满分12分)

已知函数
．

（I）讨论
的单调性；

（II）若
恒成立，证明：当
时，

（22）(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲

如图，已知四边形
内接于圆
，过作圆
的切线交
的

延长线于，若
是
的平分线.证明：

（Ⅰ）
是
的平分线;

（Ⅱ）
.

（23）(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程

设在平面上取定一个极坐标系，以极轴作为直角坐标系的轴的正半轴，以
的射线作为轴的正半轴，以极点为坐标原点，长度单位不变，建立直角坐标系,已知曲线
的直角坐标方程为
，直线
的参数方程
（为参数）．

（Ⅰ）写出直线
的普通方程与曲线
的极坐标方程；

（Ⅱ）设平面上伸缩变换的坐标表达式为
，求
在此变换下得到曲线
的方程，并求曲线
内接矩形的最大面积．

（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
，不等式
的解集为
．

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）当
时，证明：



则

……………9分

∴
的分布列为 ……………10分

0

1

2





由（Ⅰ）知，
．设
，则
，
．

因此
……………………12分

当
时，由
，得
；

当
时，由
得
无解；

当
时，由
，得
；

所以
． …………………………5分

（Ⅱ）当
时，即

因为

所以
，因此
…………………………10分