黑龙江省哈尔滨市第三中学2013-2014年高三下学期第三次高考模拟考试数学试卷（文史类）

考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．

（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；

（2）选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；

（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；

（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．

第I卷 （选择题，共60分）

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

已知全集
，集合
，
，那么集合

（A）
（B）

（C）
（D）

复数
等于

（A） （B）
（C）
（D）

已知
，
，
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

已知直线
和平面，则
的一个必要条件是

（A）
，
（B）
，

（C）
，
（D）
与成等角

已知与之间的一组数据：

0

1

2

3







3

5.5

7



已求得关于与的线性回归方程为
＝2.1＋0.85，则的值为

（A） （B）
（C）
（D）

在数列
中，已知
，则
等于

（A）
（B）
（C）
（D）

执行如图所示的程序框图，若输出
，则框图中①处

可以填入

（A）
（B）

（C）
（D）

已知
，其中实数
满足
，且的最大值是最小值的4倍，则的值是

（A）
（B）
（C）4 （D）

已知双曲线
的右焦点为，过的直线
交双曲线的渐近线于A, B两点，且与其中一条渐近线垂直，若
，则该双曲线的离心率是

（A）
（B）
（C）
（D）

已知函数
，则下列结论正确的是

（A）若
，则

（B）函数
的图象与
的图象相同

（C）函数
的图象关于
对称

（D）函数
在区间
上是增函数

已知一个正四面体的俯视图如图所示，其中四边形
是边长为
的正方形，则该正四面体的内切球的表面积为

（A）
（B）

（C）
（D）

定义在
上的函数
满足下列两个条件：（1）对任意的
恒有
成立；（2）当
时，
．记函数

，若函数
恰有两个零点，则实数的取值范围是

（A）
（B）
（C）
（D）

2014年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试

数学试卷（文史类）

第Ⅱ卷 （非选择题， 共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）

从1,2,3,4,5,6这六个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是 .

若等边
的边长为，平面内一点
满足
，则
.

已知
，则
.

若在由正整数构成的无穷数列
中，对任意的正整数，都有
，且对任意的正整数
，该数列中恰有
个
，则
= .

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

（本小题满分12分）

设
的内角
的对边分别为
，满足

．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若
，
，求
的面积．

（本小题满分12分）

某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取
名同学将其成绩(百分制，均为整数)分成
，
，
，
，
，
六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题.

（Ⅰ）求分数在
内的频率，并补全这个频率分布直方图；

（Ⅱ）从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的中位数；

（Ⅲ）若从第1组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取2人成绩之差的绝对值大于10的概率.

（本小题满分12分）

如图，在三棱柱
中，
，
，为
的中点，
．

（Ⅰ）求证：平面
平面
；

（Ⅱ）求三棱锥
的体积．

（本小题满分12分）

已知椭圆

（
）的左，右焦点分别为
，上顶点为．
为抛物线
的焦点，且
，
0．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）过定点
的直线与椭圆交于
两点（
在
之间），设直线

的斜率为（
），在轴上是否存在点
，使得以
为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．

（本小题满分12分）

已知函数
（
）.

（Ⅰ）求函数
的最大值；

（Ⅱ）若
，且关于的方程
在
上恰有两个不等的实根，

求实数
的取值范围；

（Ⅲ）设各项为正数的数列
满足
，
（
），

求证：
.

请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，
是⊙的一条切线，切点为，

都是⊙的割线，
．

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）证明：
．

（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标平面内，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程是
，直线
的参数方程是
（为参数）.

（Ⅰ）过极点作直线的垂线，垂足为点，求点的极坐标；

（Ⅱ）若点
分别为曲线和直线上的动点，求
的最小值.

（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数
.

（Ⅰ）若关于的不等式
的解集为
，求实数的值；

（Ⅱ）若
对于任意的
恒成立，求实数的取值范围.

2014年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试

数学答案（文史类）

选择题:

1B 2A 3A 4D 5D 6D 7B 8B 9D 10D 11A 12D

填空题:13．
14.
15.
16.45

解答题:

解：（Ⅰ）由已知及正弦定理可得
，

整理得
， ………………………… 2分

所以
． ………………………… 4分

又
，故
． ………………………… 5分

（Ⅱ）由正弦定理可知
，又
，
，
，

所以
． ………………………… 6分

又
，故
或
． ………………………… 8分

若
，则
，于是
； ………………………… 10分

若
，则
，于是
． ………………………… 12分

18.解：（Ⅰ）
………………………………2分

（Ⅱ）
………………………………6分

（Ⅲ）第1组：
人（设为1，2，3，4，5，6）

第6组：
人（设为A，B，C）

共有36个基本事件，满足条件的有18个，所以概率为
…………12分

19.解：（Ⅰ）取
中点为，连接
，
．

因为
，所以
．

又
，
，

所以
平面
，

因为
平面
，所以
．…3分

由已知，
，又
，

所以
，因为
，

所以
平面
．

又
平面
，所以平面
平面
． ………………6分

（Ⅱ）三棱锥
的体积=三棱锥
的体积

由（Ⅰ）知，平面
平面
,平面
平面
,

,
平面

所以
,即
,

即点
到
的距离,
…………………………9分

………………………… 11分

所以
………………………… 12分

20. 解：（Ⅰ）由已知
，
，
，所以
． ……… 1分

在
中，
为线段
的中点，

故

，所以
．……… 2分

于是椭圆的标准方程为
．…4分

（Ⅱ）设
（
），

，取
的中点为
．

假设存在点
使得以
为邻边的平行四边形为菱形，则
．

，

，又
，所以
． ………………………… 6分

因为
，所以
，
． ……… 8分

因为
，所以
，即
，

整理得
． ………………………… 10分

因为
时，
，
，所以
． ……… 12分

解：（Ⅰ）函数的定义域为
，

，