数 学（供文科考生使用）

第I卷

参考公式：球的表面积公式：
， 球的体积公式：
，其中表示球的半径； 线性回归方程：
，

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

CDABB DCCBB BB

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题-第22题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题-第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

（13）
（14）-6 （15）32 （16）185.5

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

已知函数
.

(Ⅰ)求
的单调递增区间；

(Ⅱ)在
中，三内角
的对边分别为
，已知
,
,
.求的值.

…………………………………………3分

18．（本小题满分12分）

如右图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，CC1⊥平面ABC，

BC=4，AB=5，A A1=4，点D是AB的中点．

(Ⅰ)求证：AC⊥BC1；

(Ⅱ)求证：AC1//平面CDB1.

解：(1)直三棱柱ABC-A1B1C1， 底面三边长AC=3，

BC=4， AB=5，

∴AB2=AC2+ BC2，∴AC⊥BC，

∵CC1⊥平面ABC，AC(平面ABC，

∴AC⊥CC1，

又BC∩CC1=C，∴AC⊥平面BCC1B1，

BC1(平面BCC1B1，

∴AC⊥BC1. ……6分

(2)设CB1与C1B的交点为E，连结DE，

∵D是AB的中点，E是C1B的中点，

∴DE∥AC1，

又DE(平面CDB1，AC1?平面CDB1，

∴AC1∥平面CDB1. ……12分

19．（本小题满分12分）

为了解某市市民对政府出台楼市限购令的态度，在该市随机抽取了50名市民进行调查，他们月收入（单位：百元）的频数分布及对楼市限购令的赞成人数如下表：

月收入



[25，35）

[35，45）









频数

5

10

15

10

5

5



赞成人数

4

8

8

5

2

1



将月收入不低于55的人群称为“高收入族”，月收入低于55的人群称为“非高收人族”。

（Ⅰ）根据已知条件完成下面的2×2列联表，有多大的把握认为赞不赞成楼市限购令与收入高低有关？

非高收入族

高收入族

总计



赞成









不赞成









总计









（Ⅱ）现从月收入在[55，65）的人群中随机抽取两人，求所抽取的两人中至少一人赞成楼市限购令的概率。

0.01

0.05

0.1





6.635

3.841

2.706



附：

解：（1）

非高收入族

高收入族

总计



赞成

25

3

28



不赞成

15

7

22



总计

40

10

50



 …………（2分）

，故有90%的把握认为楼市限购令与收入高低有关。

…………（6分）

设月收入在55,65的5人编号，a,b,c,m,n（m,n为赞成的2人编号）

任取2人共10种结果， ab.ac.am,an,bc,bm,bn,cm,cn,mn …………（8分）

其中含有赞成的共7种情况， am,an,bm,bn,cm,cn,mn

此题为古典概型
因此所求概率＝
。 …………（12分）

20．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系
中，点
为动点，
分别为椭圆
的左右焦点．已知△
为等腰三角形．（1）求椭圆的离心率；（2）设直线
与椭圆相交于
两点，
是直线
上的点，满足
，求点
的轨迹方程．

将
代入
得
，

------12分

21．（本小题满分12分）

设函数
，
．（注：e为自然对数的底数．）

(1)当
时，求
的单调区间；

(2)(i)设
是
的导函数，证明：当
时，在
上恰有—个
使得

(ii)求实数a的取值范围，使得对任意的
，恒有
成立．

解：(1)当
时，
…………1分

，令
得：
；令
得：

所以函数
的减区间是
；增区间是
…………3分

(2)(i)证明：

，且
，

令
得：
；令
得：

则函数
在
上递减；在
上递增 ………5分

，又

所以函数
在
上无零点，在
上有惟一零点

因此在
上恰有一个
使得
. …………8分

(ii)若
，则
，对
恒成立，

故函数
在
上是增函数，
，因此函数
在
内单调递增，

而
，
，不符题意。

，由(i)知
在
递减，
递增，

设
在[0，2]上最大值为M，则
，

故对任意的
，恒有
成立等价于
， ……10分

由
得：
，
，

又
，
。 ……12分

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ACD的外接圆交于BC于点E，AB＝2AC．

（Ⅰ）求证：BE＝2AD；

（Ⅱ）当AC＝1,EC＝2时，求AD的长．

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为
（t为参数）.曲线C的极坐标方程为ρ
＝8cosθ．

（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）设直=-与曲线C交于A，B两点，与x轴的交点为F，求
＋
的值．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设

（Ⅰ）求函数
的定义域；

（Ⅱ）若存在实数满足，
,试求实数的取值范围.

解：（1）
，

2-
，
，解得定义域定义域
……5分

设
，如图所示

或
时符合题意。

………10分