一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，）

1．集合
，
，则
（ ）

A、
B、
C、
D、

2．若复数
，其中
是虚数单位，则复数
的模为

A．
B．
C．
D．2

3．某学生在一门功课的22次考试中，所得分数如下茎叶

图所示，则此学生该
门功课考试分数的极差与中位数之和

为

A．117 B．118 C．118．5 D．119．5

4．已知
，函数
在
上单调递减.则
的取值范围是（）

A.
B.
C.
D.

5．数列
的前n项和为
，若
，则
(　　)

A.
B.
C.
D.

6．若程序框图如图所示,则该程序运行后输出
的值是[来源:学科网]

A．
B．
C．
D．

7．设函数
的定义域为

,值域为
,若
的最小值为
,则实数a的值为

A．
B．
或
C．
D．
或

8．设x∈R，向量a＝（2，x），b＝（3，－2），且a⊥b，则｜a－b｜＝

A．5 B．
C．2
D．6

9．二项式
展开式中
的系数是( )

A．-14 B．14 C．-28 D．28

10．在△ABC中，若
,
，则b=（ ）

A．3 B．4
C.5 D .6

11．设函数
，则函数
的零点的个数为

A．4 B．5 C．6 D．7

12．已知双曲线
上一点
，过双曲线中心的直线交双曲线于
两点，记直线
的斜率分别为
，当
最
小时，双曲线离心率为( )

A．

B．
C
D

二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)．

13．—个几何体的三视图如图所示(单位:m)则该几何体的体积为___．

14．若整数
满足
,则
的最大值为 ．

15．向平面区域
.内随机投入一点，则该点落在曲线
下方的概率等于_______．

16．若一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥．已知一个正六棱锥的各个顶点都在半径为3的球面上，则该正六棱锥的体积的最大值为_____．

三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．

17．（本小题满分12分）已知二次函数
的图像经过坐标原点，其导函数为
，数列
的前
项和为
，点
均在函数
的图像上．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
是数列
的前
项和， 求使得
对
所有
都成立的最小正整数

18．（本小
题满分12分） A、B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2．根据市场分析，X1
和X2的分布列分别为

X1

5％

10％



P

0.8

0.2





X2

2％

8％

12％



P

0.2

0.5

0.3



 （Ⅰ）在
两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差DY1，DY2；

（Ⅱ）将
万元投资A项目，
万元投资B项目，
表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和．求
的最小值，并指出x为何值时，
取到最小值．（注：
）

19．（本小题满分12分） 如图，在三棱柱

中，侧面
底面
，
，
，
，
为
中点．

（Ⅰ）证明：
平面
；（Ⅱ）求直线
与平面
所成角的正弦值；

（Ⅲ）在
上是否存在一点
，使得
平面
?若存在，确定点
的位置；若不存在，说明理由

20．（本小题满分12分）已知两定点
，
和定直线l：
，动点
在直线
上的射影为
，且
．

（Ⅰ）求动点
的轨迹
的方程并画草图；

（Ⅱ）是否存在过点
的直线
，使得直线
与曲线
相交于
，
两点，且△
的面积等于
？如果存在，请求出直线
的方程；如果不存在，请说明理由

21．（本小题满分12分）已知函数
，
且
.

（Ⅰ）若曲线
在点
处的切线垂直于
轴，求实数
的值；

（Ⅱ）当
时，求函数
的最小值；

（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件
下，若
与
的图像存在三个交点，求
的取值范围

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，按所做第1题计分。作答时请写清题号。

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证
明选讲

如图，过圆E外一点A作一条直线与圆E交B,C
两点，且AB=
AC,作直线AF与圆E相切于点F，连接EF交BC于点D，己知圆E的半径为2，
=30. （Ⅰ）求AF的长；（Ⅱ）求证：AD=3ED

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为
（a为参数)，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为

（Ⅰ）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角
坐标方程.

（Ⅱ）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P坐标

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

设函数
.（Ⅰ）求证：当
时，不等式lnf (x)>1成立.

（Ⅱ）关于x的不等式
在R上恒成立，求实数a的最大值

理科数学参考答案

一．选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

C

B

A

C

B

D

B

A

B

C

B



二．填空题：13．
14．10 15．
16．

三．解答题：

17.【解析】（Ⅰ）设二次函数
，则
，

由于
，所以
，所以
………………2分[来源:Z_xx_k.Com]

又点
均在函数
的图像上，所以

当
时，
， ………………4分

当
时，
，也适合
．

所以
．
………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得
………………8分

故
…10分

随着
的增大，
逐渐增大直至趋近
，故
对所有
都成立，只要
即可，即只要
．

故使得
对所有
都成立的最小正整数
………………12分

18.【解析】（Ⅰ）由题设可知
和
的分布列分别为

 Y1

5

10



P

0.8

0.2



Y2

2

8

12



P

0.2

0.5

0.3





，
，

，
．

（Ⅱ）

，当
时，
为最小值．

19.解：(1)

，且O为
中点，

，又
侧面
底面
，交线为
，
，

平面
. (4分)

(2) 如图，以O为原点，分别以OB、OC、
所在直线为x、y、z轴，建立空 间直角坐标系，则由题可知
，
，
，
.

，令平面
的法向量为
，则
，而
，
，可求得一个法向量
，所以

，

故直线
与平面
所成角的正弦值为
. (8分)

(3) 存在点
为线段
的中点.

证明：连结
交
于点
，连结
、
，则
为
的中点，从而
是
的一条中位线，
，而
平面
，
平面
，所以
平面
，故
的中点
即为所求的
点. (12分)

20. 解：（Ⅰ）
设
，则
，[来源:Zxxk.Com]

，代入
，得

，化简得，即得曲线
的方程为
，----------5分

（Ⅱ）（i）若直线
的斜率不存在时，此时点
，点
，△
的面积等于
，不符合； -----6分[来源:学&科&网Z&X&X&K]

（ii）若直线
的斜率为
时，直线
的方程设为

，设
，
．

联立
，得
， 则
，
，

则

，所以

，

点
到直线
的距离
，

所以△
的面积等于

，解之得
：