坤博英才2014届预测汇编

数学

试题一

1.已知
是等差数列,且
,则
的前8项和为 ( )

A.40 B.20 C.10 D.8

1.【答案】B【解析】由
可得
,即
,所以,
的前8项和为
.

试题二

2.已知i是虚数单位,
,则
( )

A.
B.
C.
D.

2.【答案】C【解析】由
可得
,故


.

试题三

3.已知角是第二象限角,且
,且
的图像关于直线
对称,则
.

3.【答案】
【解析】由条件可得
,

则
,
,

由

关于直线
对称可得

,则


.

试题四

1.（理）已知四面体
中, PA=4，AC=
，PB= BC=
,
平面PBC,则四面体
的内切球半径与外接球半径的比（ ）

A.
B.
C.
D.

1.【答案】C【解析】
平面PBC, AC=
, PA=4,
,
为等边三角形，设其外接圆半径为R，四面体
内切球半径为r，则2R=
， 2R=4，外接球半径为
，
，
，过A点作AD垂直于BC于D，
，
，



内切球半径与外接球半径的比为
，故选C

试题五

2.已知四面体
中, PA=4，AC=
,PB= BC=
,
平面PBC,则四面体
外接球体积为（ ）

A.
B.
C.
D.

2.【答案】 C【解析】
平面PBC, AC=
, PA=4,
,
为等边三角形，设其外接球半径为R，，则2R=
， 2R=4，外接球半径为
，其外接球的体积为

试题六

3.若椭圆
：

和椭圆


共长轴，且
，给出下列四个命题正确的是 .

①设椭圆的离心率为e,则
； ②
；

③
④椭圆
的焦点

为椭圆
上的任意一点，椭圆
的焦点
，
为椭圆
上的任意一点，则当
都取最大角时，

⑤两椭圆中，椭圆
的最短的焦半径比椭圆
的最短的焦半径长;

3.【答案】②④⑤【解析】由于两椭圆共长轴，所以
，又因为
，所以

，故①错.由于长轴相等，所以

成立，②正确.对于③由于
，
所以
，所以③错误.点在椭圆短轴顶点时，张角最大.由于两椭圆长轴相同，所以谁焦距长谁张角大，所以④正确.椭圆
的最短的焦半径长为
最短的焦半径
，
所以⑤正确.

试题七

1.已知函数
，将函数
图象上所有点的横坐标缩短为原来的
倍（纵坐不变），得到函数
的图象，则关于
有下列命题，其中真命题的个数是 ( )

①函数
是奇函数；

②函数
不是周期函数；

③函数
的图像关于点(π，0)中心对称；

④函数
的最大值为
.

A.1 B.2 C.3 D.4

1.【答案】A【解析】


，

①错误，
是偶函数；②错误，
即为
的一个周期；

③正确，可以验证
恒成立，故(π，0)是
的图像的一个对称中心；

④错误，令t＝cos
，t∈[－1，1]，则m(t)＝2t (1－t2)＝2( t－t3)，令m′(t)＝2( 1－3t2)＝0，得
.

当t＝±1时，函数值为0；当
时，函数值为
；当
时，函数值为
.

∴m (t)max＝
，即
的最大值为
.

试题八

2.函数f（x）＝
（k＞0）有且仅有两个不同的零点
，（
＞），则以下有关两零点关系的结论正确的是 ( )

A．sin＝cos
B．sin＝－cos
C．sin
＝
cos D．sin
＝－
cos

2.【答案】D【解析】由f（x）＝
（k＞0）有且仅有两个不同的零点
，（
＞
）知，
=
有且仅有两个不同的解
，，即=
与
有且仅有两个不同的交点，由图像知，
与=
相切于A（，
），相交于B（
，
），且＜0＜
，∴
=
，
=
，∴
=
，故选D.

试题九

3.设函数
，
．

（Ⅰ）当
时，证明
在
是增函数；

（Ⅱ）若
，
，求的取值范围．

3.【解析】（1）
，当
时,
,……2分令
，则
，当
时，
，所以
在
为增函数，因此
时，
，所以当
时，
，则
在
是增函数．---------6分

（2）由
,由（1）知,
当且仅当
等号成立．

故
,从而当
,即
时,对
,
,于是对

．由
得
,从而当
时,

故当
时,

,于是当
时,
,综上,的取值范围是
．---------12分