命题：马四保 审核：蔡恒录

一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，）

1．已知集合
，集合
，集合
，则
（ ）

A．
B.
C.
D.

2．i是虚数单位，复数
表示的点落在哪个象限（ ）

A．第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

3．在长为12cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC、CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为（ ）

A.
B.
C.
D.

4．如图是一个算法的流程图，若输出的结果是31，则判断框中整数M的值是（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

5．已知某几何体的三视图如图，其中正(主)视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为（ ）

A．
B．

C．
D．

6．设
、
分别为双曲线
的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足
，且
到直线
的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为( )

A.
B.
C.
D. 2

7．已知

为
的导函数，则
的图像是（ ）

8．定义一种运算
，若函数
，
是方程
的解，且
，则
的值（ ）

A．恒为正值 B．等于
C．恒为负值 D．不大于

9．已知
＜
＜0，则（ ）

(A)n＜m＜1 (B)m＜n＜1 (C)1＜m＜n (D)1＜n＜m

10．命题
且满足
.命题
且满足
.则是的（ ）

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

11．函数
与
的图像交点的横坐标所在区间为（ ）

A.
B.
C.
D.

12．抛物线
的焦点为，已知点
为抛物线上的两个动点，且满足
.过弦
的中点
作抛物线准线的垂线
，垂足为
，则
的最大值为（ ）

A.
B.
C. D.

二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)．





13．已知正三棱锥的侧面均为等腰直角三角形，侧面的面积为
，则它的外接球体积为

14．如图，正方形
的边长为，延长
至，使
，连接
、
， 则

15．已知直线
与曲线
切于点
，则
的值为__________.

16．已知
面积
和三边
满足：
，则
面积
的最大值为_______________ .

三、解答题本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．

17．（12分）已知等差数列
满足
.

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）数列
满足
,
为数列
的前项和，求
.

18．（12分）已知点
是离心率为
的椭圆
：
上的一点，斜率为
的直线
交椭圆
于、两点，且、、三点不重合．

（1）求椭圆
的方程；

（2）
的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？

19．（12分）如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠PDA=45，点E、F分别为棱AB、PD的中点．

（1）求证：AF∥平面PCE；（2）求三棱锥C－BEP的体积．

20．（12分）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：

喜爱打篮球

不喜爱打篮球

合计



男生



5





女生

10







合计





50



已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为
．

（1）请将上面的列联表补充完整；

（2）是否有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；

（3）已知喜爱打篮球的10位女生中，
还喜欢打羽毛球，
还喜欢打乒乓球，
还喜欢踢足球，现在从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的8位女生中各选出1名进行其他方面的调查，求
和
不全被选中的概率．

下面的临界值表供参考：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001





2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828



（参考公式：
）

21．（12分）函数
.

（1）令
，求
的解析式；

（2）若
在
上恒成立，求实数的取值范围.

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第1题计分。作答时请写清题号。

22．（10分）如图，点是以线段
为直径的圆
上一点，
于点，过点作圆
的切线，与
的延长线交于点，点
是
的中点，连结
并延长与
相交于点，延长
与
的延长线相交于点.

（Ⅰ）求证：
；（Ⅱ）求证：
是圆
的切线.

23．（10分）在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
为参数），以该直角坐标系的原点
为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系下，曲线的方程为
.

（1）求曲线
的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）设曲线
和曲线的交点、，求
.

24．（10分）已知函数
，其中实数
.

（1）当
时，求不等式
的解集；（2）若不等式
的解集为
，求的值.

答案：

1—12 BCCBA BAADC BA

13.
14.
15.3 16.64/17

17、【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）

18、【答案】（1）
（2）

【解析】试题分析：解：（1）
，
，

，
，

（2）设直线BD的方程为

----①
-----②

，

设
为点到直线BD：
的距离，

，当且仅当
时取等号.

因为

，所以当
时，
的面积最大，最大值为

19、试题解析：（1）证明：取PC的中点G，连接GF，因为F为PD的中点，

所以，GF∥CD且
又E为AB的中点，ABCD是正方形，

所以，AE∥CD且
故AE∥GF且

所以，AEGF是平行四边形，故AF∥EG，而
平面
，

平面
，所以，AF∥平面
.

（2）因为PA⊥底面ABCD，所以，PA是三棱锥P-EBC的高，PA⊥AD，PA＝2，

∠PDA=450，所以，AD=2，正方形ABCD中，E为AB的中点，所以，EB=1，故
的面积为1，故
.故三棱锥C－BEP的体积为
.

20、【答案】（1）

喜爱打篮球

不喜爱打篮球

合计



男生

20

5

25



女生

10

15

25



合计

30

20

50



（2） 有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关；(3)
和
不全被选中的概率
．

【解析】

试题解析：（1）列联表补充如下：

喜爱打篮球

不喜爱打篮球

合计



男生

20

5

25



女生

10

15

25



合计

30

20

50



（2）∵

∴有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关.

(3)从10位女生中选出喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的各1名，其一切可能的结果组成的基本事件如下：

，
，

，
，
，
，
，
,

基本事件的总数为18,用
表示“
不全被选中”这一事件，则其对立事件
表示“
全被选中”这一事件，由于
由

, 3个基本事件组成，所以

由对立事件的概率公式得
.

考点：独立性检验的应用；等可能事件的概率．

21、试题解析：（1）
…周期为4，

.

：设
，
.

.

当
时，
在
上恒成立，
成立，故
；

当
时，
在
上恒成立，
得
，无解.

当
时，则存在
使得
时
增，
时
减，

故
，
，解得
，故
.

综上：
.

22、【答案】（Ⅰ）详见试题解析；（Ⅱ）详见试题解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由
，
可得
，从而可得

通过等量代换及题设“点
是
的中点”可得
.

（Ⅱ）目标是要证
是直角，连结
便可看出只要证得
是等腰三角形即可．
显然是等腰三角形。因为直径上的圆周角是直角，
，所以
是直角三角形. 由（Ⅰ）得
所以
，从而本题得证.

试题解析：证明：（Ⅰ）
是圆
的直径，
是圆
的切线，

．又
，

．

可以得知
，
．

．
．

是
的中点，
．
． 5分

（Ⅱ）连结
．

是圆
的直径，
．

在
中，由（Ⅰ）得知是斜边
的中点，

．
．

又
，
．

是圆
的切线，

，

是圆
的切线． 10分

23、【答案】（1）曲线
的普通方程：
;曲线的直角坐标方程为
.

（2）

【解析】

试题分析：（1）由
为参数）消去参数得曲线
的普通方程

将
代入
得曲线的直角坐标方程.

（2）由于曲线
为直线，曲线为圆，所以求出圆的半径及圆心到直线的距离
，再由
便可求得
.

试题解析：（1）由
为参数）消去参数得曲线
的普通方程：

将
代入
得曲线的直角坐标方程为
. 4分

（2）曲线可化为
，表示圆心在
，半径
的圆，

所以圆心到直线
的距离为

所以
10分

24、【答案】(1) 不等式
的解集为
;(2)

【解析】

试题分析：（1）将
代入
得一绝对值不等式：
，解此不等式即可.

（2）含绝对值的不等式，一般都去掉绝对值符号求解。本题有以下三种考虑：

思路一、根据
的符号去绝对值.
时，
，所以原不等式转化为
；
时，
，所以原不等式转化为

思路二、利用
去绝对值.
,此不等式化等价于
.

思路三、从不等式与方程的关系的角度突破.本题是含等号的不等式，所以可取等号从方程入手.

试题解析：（1）当
时，
可化为
，由此可得
或

故不等式
的解集为
5分

（2）法一：（从去绝对值的角度考虑）

由
,得
,此不等式化等价于
或

解之得
或
,

因为