2014年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试

数学理科答案

一、选择题

1—5：DBACA 6—10：BABAD 11—12：BC

二、填空题

13. 5 14.

15.
16.

三、解答题：（解答题按步骤给分，本答案只给出一种答案，学生除标准答案的其他解法，参照标准酌情设定,且只给整数分）

17. 解：（Ⅰ）：由已知
得 2bcosB=acosC+ccosA…………………………2分

代入a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,化简得

2sinBcosB=sinAcosC+cosAsinC，………………………4分

所以2sinBcosB=sin(A+C)=sinB ,在三角形ABC中，sinB

.………………………6分

（Ⅱ）当△ABC的外接圆面积为π时，则R=1，

所以直径2R=2， b=2RsinB=
，……………………8分

由余弦定理，b2=a2+c2-2accosB得3=a2+c2-ac≥ac，当且仅当a=c时取到等号。

所以得到ac≤3，………………………10分

则
.…………………12分

18.解：（Ⅰ）由频率分布直方图知，A型节能灯中，一级品的频率为
，二级品的频率为
，三级品的频率为0

所以，在A型节能灯中按产品级别用分层抽样的方法随机抽取10个，其中一级品6个，二级品4个

设在这节能灯中随机抽取3个，至少有2个一级品为事件，恰好有个一级品为事件
，则

，

……………………………2分

因为事件
为互斥事件，所以，

即，在这10个节能灯中随机抽取3个，至少有2个一级品的概率为
……………………………4分

（Ⅱ）设投资A、B两种型号节能灯的利润率分别为
、
，

由频率分布直方图知，A型节能灯中，一级品、二级品、三级品的概率分别为
、
，0

B型号节能灯中一级品、二级品、三级品的概率分别为
、
、

所以
、
的分布列分别是：



































……………………………………………………………….6分

则
、
的期望分别是：

，

所以，

………………………………8分

因为
，所以从长期看

当
时，投资B型号的节能灯的平均利润率较大

时，投资A型号的节能灯的平均利润率较大

时，投资两种型号的节能灯的平均利润率相等

…………………………………………………12分

19.解：（Ⅰ）因为
所以

又因为
，且

所以
平面
，

即
平面
…………………….4分

（Ⅱ）在梯形
中，易求得
．

设

，

建立如图所示空间直角坐标系，则
，
，
，
，
，

所以
，
，

设平面
的法向量为
，则
,所以
，

令
得
为平面
的一个法向量，

易知
为平面
的一个法向量，…………………8分

所以

，…………..10分

因为平面
与平面
所成二面角的余弦值为

所以
．解得
或
（舍）.

此时点为线段
的三等分点（靠近点A）。……………..12分

20. 解：（Ⅰ）设动点
因为

所以
……………………2分

整理得

所以动点的轨迹方程为：
……………………..4分（无限制减1分）

（Ⅱ）设点
则

设过点的圆
的两条切线的方程是

即

令
得
……………………………………6分

因为直线
与圆
相切，所以

即

所以
（*）…………………………………….8分

因为

（将（*）式代入，
）.

………………………………………..10分

因为
所以
的取值范围
…………………………..12分

21.解：（Ⅰ）函数
定义域为

由
，令
得
，所以
。

当
时，
；

当
时，

所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减。………………………..4分

（Ⅱ）由（1）的结论知

（i）当
，即
时，
在
上单调递增，于是

（ii）当
时，
在
上单调递减，于是

（iii）当
，即
时，
……………………….8分

3）由（1）知，当
上恒有

所以
，故
，当且仅当
时等号成立。

令
，带入整理得
…………………………..10分

所以

故对于
，不等式
恒成立…………………..12分

22.解：(Ⅰ) 因为四边形
为圆内接四边形,所以

又
所以
∽
，则
.

在圆内接四边形
中，CD是
的平分线，所以DE=AD，
，

而
，所以
.即
……………….5分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得
.而
所以
，
.
.

根据割线定理得
，所以
，
.

在圆内接四边形
中由于
，所以
，DE//AC.

在等腰梯形
中，易求得CD=
…………………………….10分

23.解：(Ⅰ)
的普通方程为
，
的普通方程为
，圆心
到直线
的距离为
，半径，由勾股关系得
………………5分

(Ⅱ)
，故点的坐标是
，从而点到直线
的距离

当
时，
取得最小值为
………………………..10分

24.解：(Ⅰ)原不等式等价于
，

解得原不等式解集为
………….5分

(Ⅱ)法一：

图象如图所示，其中

，
，
，
，

直线
绕点P
旋转，由图可得不等式

的解集非空时，
，解得
………………10分

法二：
即
，而后去绝对值分类讨论.