一、选择题（本题共10个小题，每题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的）

1若纯虚.数满足
（其中是虚数单位，是实数），则
（　　）

A．
B． C．-4 D．4

2．设集合
的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．如图是函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图像的一部分，A，B是图像上的一个最高点和一个最低点，O为坐标原点，则
·
的值为

A.π B.π2＋1

C.π2－1 D.π2－1

4．设各项为正的等比数列
的公比
，且
成等差数列，则
的值为

A．
B.
C.
D.2

5．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　)

A.π B.π C.π D.π

6.已知奇函数
上是单调减函数，且
，则不等式
的解集为:

A．
B.

C．
D.

7.已知
，且
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

8．抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，其准线经过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左顶点，点M为这两条曲线的一个交点，且|MF|＝2p，则双曲线的离心率为(　　)．

A. B．2 C. D.

9. 在R上定义运算
：x
y＝x(1－y)，若不等式(x－a)
(x＋a)＜1对任意实数x成立，则(　　).

A．－1＜a＜1 B．0＜a＜2

C．－＜a＜ D．－＜a＜

10. 设函数f(x)＝，g (x)＝－x2＋bx.若y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是(　　)

A.x1＋x2>0，y1＋y2>0 B.x1＋x2>0，y1＋y2<0

C.x1＋x2<0，y1＋y2>0 D.x1＋x2<0，y1＋y2<0

填空题（本题共5个小题，每小题5分，共25分）

11．已知向量a=(2,1),b=(x,y). 若x∈{-1,0,1,2}，y∈{-1,0,1}，求向量a∥b的概率为 .

12．如图，正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于点G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，现给出下列四个命题：

①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；

②恒有平面A′GF⊥平面BCED；

③三棱锥A′－FED的体积有最大值；

④直线A′E与BD不可能垂直．

其中正确的命题的序号是________．

13．运行如右图所示的程序框图，若输出的y值的范围是

[0, 10]，则输入的x的值的范围是 ．

14. 已知函数
，则

15.已知数列{an}中，a1＝1，且P(an，an＋1)(n∈N*)在直线x－y＋1＝0上，若函数f(n)＝＋＋＋…＋(n∈N*，且n≥2)，函数f(n)的最小值是________．

四、解答题（本题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.

16．（本题满分12分）

已知
，
，其中ω＞0．设函数f(x)＝
，且函数f(x)的周期为π．

(Ⅰ) 求ω的值；

(Ⅱ)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a，b，c成等差数列，当f(B)＝1时，判断△ABC的形状．

17．(本小题满分12分)

有一个3×4×5的长方体, 它的六个面上均涂上颜色. 现将这个长方体锯成60个1×1×1的小正方体，从这些小正方体中随机地任取1个.

（1）求小正方体各面没有涂色的概率.

（2）求小正方体有2面或3面涂色的概率.

18.（本小题满分12分）

如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=1.

（1）求证：平面AB1D⊥平面B1BCC1；

（2）求证：A1C//平面AB1D；

.

19．（本小题满分12分）

数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S＝an(Sn－1)．

(1)求证：数列是等差数列；

(2)设bn＝log2，数列{bn}的前n项和为Tn，求满足Tn≥6的最小正整数n.

20．（本小题满分13分）

已知中心在原点的椭圆C：＋＝1的一个焦点为F1(0, 3)，M(x,4)(x＞0)为椭圆C上一点，△MOF1的面积为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)是否存在平行于OM的直线l，使得直线l与椭圆C相交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

答案

17．(本题满分12分)

(1)60个1×1×1的小正方体中，没有涂上颜色的有6个，
；

(2) ）由（1）可知=
+


.

18.（本小题满分12分）

解法一：

证明：（1）因为B1B⊥平面ABC，AD平面ABC，所以AD⊥B1B （1分）

因为D为正△ABC中BC的中点，所以AD⊥BD （2分）

又B1B∩BC=B， 所以AD⊥平面B1BCC1 （3分）

又AD平面AB1D，故平面AB1D⊥平面B1BCC1 （4分）

（2）连接A1B，交AB1于E，连DE （5分）

因为点E为矩形A1ABB1对角线的交点，所以E为AB1的中点 （6分）

又D为BC的中点，所以DE为△A1BC的中位线，所以DE//A1C （7分）

又DE平面AB1D，所以A1C//平面AB1D （8分）

解法二：

解：建立如图所示的直角坐标系，依题意有：

（1）证明：由
，

得

又BC∩⊥BB1=B，所以AD⊥平面B1BCC1. （4分）

又AD平面AB1D，所以平面AB1D⊥B1BCC1 （5分）

（2）证明：连接A1B，交AB1于E，连DE，

因为点E为正方形A1ABB1对角线的交点，所以E为AB1的中点，

即
（6分）

又DE平面AB1D，所以A1C//平面AB1D （8分）

19. (1)证明：∵
＝an(Sn－1)，

∴
＝(Sn－Sn－1)(Sn－1)(n≥2)．

∴SnSn－1＝Sn－1－Sn，即－＝1.

∴是以1为首项，1为公差的等差数列．

(2)解：由(1)知Sn＝，∴bn＝log2.

∴Tn＝log2(××××…×)＝log2≥6.

∴(n＋1)(n＋2)≥128.

∵n∈N*，∴n≥10.∴满足Tn≥6的最小正整数为10.

20. 解：(1)因为椭圆C的一个焦点为F1(0,3)，

所以b2＝a2＋9.

则椭圆C的方程为＋＝1.

因为x＞0，所以S△MOF1＝×3×x＝，解得x＝1.

故点M的坐标为(1,4)．

因为M(1,4)在椭圆上，

所以＋＝1，得a4－8a2－9＝0，解得a2＝9或a2＝－1(不合题意，舍去)，

则b2＝9＋9＝18，所以椭圆C的方程为＋＝1.

(2)假设存在符合题意的直线l与椭圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，

其方程为y＝4x＋m(因为直线OM的斜率k＝4)．

由消去y化简得18x2＋8mx＋m2－18＝0.

进而得到x1＋x2＝－，x1x2＝.

因为直线l与椭圆C相交于A，B两点，

所以Δ＝(8m)2－4×18×(m2－18)＞0，

化简得m2＜162，解得－9＜m＜9.

因为以线段AB为直径的圆恰好经过原点，

所以·＝0，

所以x1x2＋y1y2＝0.

又y1y2＝(4x1＋m)(4x2＋m)＝16x1x2＋4m(x1＋x2)＋m2，

x1x2＋y1y2＝17x1x2＋4m(x1＋x2)＋m2＝－＋m2＝0.

解得m＝±.

由于±∈(－9，9)，

所以符合题意的直线l存在，且所求的直线l的方程为y＝4x＋或y＝4x－.

21.【解析】（1）因为
，

所以
．

①若
，
，
在
上单调递增．

②若
，当
时，
，
在
上单调递减；

当
时，
，
在
上单调递增．

③若
，当
时，
，
在
上单调递减；

当
时，
，
在
上单调递增．

综上：①当
时，
在
上单调递增．

②当
时，
在
上单调递减，
在
上单调递增．

③当
时，
在
上单调递减，
在
上单调递增．

（2）当
时，
．

由（1）知，若
，当
时，
，
单调递减，

当
时，
，
单调递增，

所以
．

因为对任意的
，都有
成立，

问题等价于对于任意
，
恒成立，

即
对于任意
恒成立，

即
对于任意
恒成立，

因为函数
的导数
在
上恒成立，

所以函数
在
上单调递增，所以
，

所以
，所以
．