唐山市2013—2014学年度高三年级第三次模拟考试

理科数学参考答案

（Ⅱ）建立如图所示的坐标系C-xyz．

设AC＝BC＝2，因为A1A＝A1C，

则A(2，0，0)，B(0，2，0)，A1(1，0，1)，C(0，0，0)．

＝(0，2，0)，＝(1，0，1)，＝＝(－2，2，0)．

设n1＝(a，b，c)为面BA1C的一个法向量，则n1·＝n1·＝0，

则取n1＝(1，0，－1)．

同理，面A1CB1的一个法向量为n2＝(1，1，－1)． …9分

所以cos(n1，n2(＝＝，

故二面角B-A1C-B1的余弦值为． …12分

（19）解：

（Ⅰ）记事件：“一顾客购买一件饮品获得i等奖”为Ai，i＝1，2，则

P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，

则一顾客一次购买一件饮品获得奖励的概率为

P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝． …4分

故一顾客一次购买两件饮品，至少有一件获得奖励的概率

p＝1－(1－)2＝． …6分

（Ⅱ）设一顾客每购买一件饮品所得奖金额为X元，则X的可能取值为x，，0．

由（Ⅰ）得P(X＝x)＝，P(X＝)＝，E(x)＝＋＝． …9分

该商场每天销售这种饮品所得平均利润

Y＝y[(36－20)－E(x)]＝(＋24)(16－)＝－(x－48)2＋432．

当x＝48时，Y最大．故x设定为48（元）为最佳． …12分

（20）解：

（Ⅰ）抛物线C的准线x＝－，依题意M(4－，4)，

则42＝2p(4－)，解得p＝4．

故抛物线C的方程为y2＝8x，点M的坐标为(2，4)， …3分

（Ⅱ）设A(，y1)，B(，y2)．

直线MA的斜率k1＝＝，同理直线MB的斜率k2＝．

由题设有＋＝0，整理得y1＋y2＝－8．

直线AB的斜率k＝＝＝－1． …6分

设直线AB的方程为y＝－x＋b．

由点M在直线AB的上方得4＞－2＋b，则b＜6．

由得y2＋8y－8b＝0．

由Δ＝64＋32b＞0，得b＞－2．于是－2＜b＜6． …9分

|y1－y2|＝＝4，

于是|AB|＝|y1－y2|＝8．

点M到直线AB的距离d＝，则△MAB的面积

S＝|AB|·d＝2．

设f(b)＝(b＋2)(6－b)2，则f((b)＝(6－b)(2－3b)．

当b∈(－2，)时，f((x)＞0；当b∈(，6)时，f((x)＜0．

当b＝时，f(b)最大，从而S取得最大值． …12分

（21）解：

（Ⅰ）h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－1－x，h((x)＝ex－1．

当x∈(－∞，0)时，h((x)＜0，h(x)单调递减；

当x∈(0，＋∞)时，h((x)＞0，h(x)单调递增．

当x＝0时，h(x)取最小值h(0)＝0． …4分

（Ⅱ）[f()g(－)]k＞1－即[e(1－)]k＞1－． ①

由（Ⅰ）知，f()－g()≥0，即e≥1＋，

又1－＞0，则e(1－)＞(1＋)(1－)＝1－＞0．

所以[e(1－)]k＞(1－)k． ② …7分

设φ(t)＝(1－t)k－1＋kt，t∈[0，1]．

由k＞1知，当t∈(0，1)时，φ((t)＝－k(1－t)k－1＋k＝k[1－(1－t)k]＞0，

φ(t)在[0，1]单调递增，当t∈(0，1)时，φ(t)＞φ(0)＝0．

因为∈(0，1)，所以φ()＝(1－)k－1＋k·＞0，

因此不等式②成立，从而不等式①成立． …12分

（22）解：

（Ⅰ）连结OA，则OA＝OD，所以∠OAD＝∠ODA，

又∠ODA＝∠ADE，所以∠ADE＝∠OAD，所以OA∥即CE．

因为AE⊥CE，所以OA⊥AE．

所以AE是⊙O的切线． …5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得△ADE∽△BDA，

所以＝，即＝，则BD＝2AD，

所以∠ABD＝30(，从而∠DAE＝30(，

所以DE＝AEtan30(＝．

由切割线定理，得AE2＝ED·EC，

所以4＝ (＋CD)，所以CD＝． …10分

（23）解：

（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为＋ρ2sin2θ＝1，即＋sin2θ＝．

在极坐标系中，设M(ρ，θ)，P(ρ1，α)，则

题设可知，ρ1＝，α＝． ①

因为点P在曲线C1上，所以＋sin2α＝． ②

由①②得曲线C2的极坐标方程为＝＋． …6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

＝(1＋3sin2)．

因为的取值范围是[，]，所以|OM|的取值范围是[2，4]． …10分

（24）解：

（Ⅰ）记f(x)＝|x－1|－|x＋2|＝

由－2＜－2x－1＜0解得－＜x＜，则M＝(－，)． …3分

所以|a＋b|≤|a|＋|b|＜×＋×＝． …6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得a2＜，b2＜．

因为|1－4ab|2－4|a－b|2＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)

＝(4a2－1)(4b2－1)＞0， …9分

所以|1－4ab|2＞4|a－b|2，故|1－4ab|＞2|a－b|． …10分