第I卷(选择题 共5 0分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数的实部为，且
，则复数的虚部是

A．
B．
C．
D．

2 若命题

，
；命题

，
. 则下面结论正确的是 A.是假命题 B.
是真命题 C.
是假命题 D.
是真命题

3已知数列
的前9项和S9等于

A．16 B．18

C．20 D．22

4．实数
满足
,若
的最大值为13,则实数
的值为（ ）

A. 2 B.
C.
D. 5

5如图给出的计算
的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是

6．已知双曲线
：
的离心率为2.若抛物线

的焦点到双曲线
的渐近线的距离为2，则抛物线
的方程为

A.
　B.
　　C.
　　D.

7．一个棱锥的三视图如图所示，则它的体积为 ( )

A．
B．

C．1 D．

8已知函数
是定义在R上的增函数，函数
的图象关于点
对称．w若对任意的
恒成立，则当
时，
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

9对于函数
，若存在区间
，使得
，则称函数
为“可等域函数”，区间为函数
的一个“可等域区间”．

下列函数中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为

（A）
（B）

（C）
（D）

10.在平面上，
，
,
.若
，则
的取值范围是（ ）

A、
B、
C、
D



第II卷（非选择题，共1 00分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．若直线
平分圆

的周长,则
的取值范围是

12 已知平面向量
，．
若
，

则
_____________．

13. 已知函数
，若对任意的
，不等式
恒成立，则实数的取值范围为

14. 对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式：

…

…

根据上述分解规律，若
，
的分解中最小的正整数是21，则

15．已知
分别为双曲线
（
）的左、右焦点，O为原点，A为右顶点，为双曲线左支上的任意一点，若
存在最小值为12a，则双曲线离心率的取值范围是

答 案

一、选择题：共10小题，每小题5分，满分50分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

B

D

B

C

A

D

A

C

B

D



10

二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分．

11.
12.
13.
14. 11

15.

三．解答题：

16．解：（Ⅰ）由
得：

，………………………………………………………………………3分

，又

………………………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）由余弦定理得：

，…………………………………………………………………8分

又
，

，
……………………………………………………………10分

. ……………………………………………12分

17.解：（1）∵点
，
均在函数
的图象上，

∴
，即
，故数列
是公比
的等比数列。-----2分

又因
，则
，即
，

由于数列
的各项均为负数，则
，----------4分

∴
． ------------6分

（2）由（1）知，
，
，------------8分

∴
．------------12分

18.解：（1）证明：设
，连接
，

由三角形的中位线定理可得：
, ------------3分

∵
平面
，
平面
，∴
平面
． ------------6分

（2）∵平面
平面
，

∴
平面
，∴
,∴
-------8分

又∵是
的中点，
是正三角形，

∴
，

∴
， ------------10分

又平面
平面
，
，

∴
平面
，

∴
------------12分

19: (Ⅰ).设该厂本月生产轿车为n辆,由题意得,
,

所以n=2000. z=2000-100-300-150-450-600=400 ．．．．．．3分

(Ⅱ) 设所抽样本中有m辆舒适型轿车,

因为用分层抽样, 所以
,解得m=2,

即抽取了2辆舒适型轿车, 3辆标准型轿车,分别记作S1,S2;B1,B2,B3,

则从中任取2辆的所有基本事件为(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),(B1 ,B2), (B2 ,B3) ,(B1 ,B3)共10个,

其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个基本事件: ,(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),所以从中任取2辆,至少有1辆舒适型轿车的概率为
. ．．．．．．8分

(Ⅲ)样本的平均数为
,

那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数为9.4, 8.6, 9.2, 8.7, 9.3, 9.0这6个数,总的个数为8,

所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为
.. ．．．．．．12分

20解: （1）∵椭圆
的两焦点与短轴的两个端点的连线构成正方形，∴
， ∴
， …………2分

又∵椭圆经过点
，代入可得
，

∴故所求椭圆方程为
…………5分

(2)设
因为
的垂直平分线通过点
， 显然直线
有斜率，

当直线
的斜率为时,则
的垂直平分线为轴，此时

所以
，因为
，所以

所以
，当且仅当
时，
取得最大值为
， ……………7分

当直线
的斜率不为时，则设
的方程为

所以
，代入得到
……………8分

当
, 即

方程有两个不同的解又
，
………………9分

所以
，又
，化简得到

代入
，得到
…………………10分

又原点到直线的距离为

所以

考虑到
且
化简得到
…………………12分 因为
，所以当
时，即
时，
取得最大值
.

综上，
面积的最大值为
. …………………13分

21解：（1）当a＝2，b＝1时，f (x)＝(2＋)ex，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．

所以f ′(x)＝ex． …3分

令f ′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝，列表

x

(－∞，－1)

－1

(－1，0)

(0，)



(，＋∞)



f ′(x)





－

－







f (x)

↗

极大值

↘

↘

极小值

↗



由表知f (x)的极大值是f (－1)＝e－1，f (x)的极小值是f ()＝4．……………5分

（2）① 因为g (x)＝(ax－a)ex－f (x)＝(ax－－2a)ex，

当a＝1时，g (x)＝(x－－2)ex．

因为g (x)≥1在x∈（0，＋∞）上恒成立，所以b≤x2－2x－在x∈（0，＋∞）上恒成立． …………………………………………8分

记h(x)＝x2－2x－（x＞0），则h′(x)＝．

当0＜x＜1时，h′(x)＜0，h(x)在（0，1）上是减函数；当x＞1时，h′(x)＞0，h(x)在（1，＋∞）上是增函数．所以h(x)min＝h(1)＝－1－e－1．

所以b的最大值－1－e－1． ………10分

解 因为g (x)＝(ax－a)ex－f (x)＝(ax－－2a)ex，

当a＝1时，g (x)＝(x－－2)ex．