一、选择题（本题共10个小题，每题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的）

1若纯虚数满足
（其中是虚数单位，是实数），则
（　　）

A．
B． C．-4 D．4

2．设集合
的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．如图是函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图像的一部分，A，B是图像上的一个最高点和一个最低点，O为坐标原点，则
·
的值为（ ）

A.π B.π2＋1

C.π2－1 D.π2－1

4．设各项为正的等比数列
的公比
，且
成等差数列，则
的值为（ ）

A．
B.
C.
D.2

5．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　)

A.π B.π C.π D.π

6.已知奇函数
上是单调减函数，且
，则不等式
的解集为（ ）

A．
B.

C．
D.

现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3 张，要

求这 3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张.不同取法的种数为(　　)

A.232 B.252 C.472 D.484

8．抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，其准线经过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左顶点，点M为这两条曲线的一个交点，且|MF|＝2p，则双曲线的离心率为(　　)．

A. B．2 C. D.

9. 在实数集R上定义运算
：x
y＝x(1－y)，若不等式(x－a)
(x＋a)＜1对任意实数x成立，则(　　).

A．－1＜a＜1 B．0＜a＜2

C．－＜a＜ D．－＜a＜

10. 定义符号函数
，设

，
，其中
=
,
=
, 若
，则实数的取值范围是（ 　 ）

A.
　　　B.
　　C.
　　　D.

二．选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按做的第一题评阅计分，本题共5分.

11（1）（坐标系与参数方程选做题）设曲线
的参数方程为
（为参数），若以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线的极坐标方程为（ ）

A.
　 　B.
　　

C.
　 　　D.

（2）（不等式选做题）设，若不等式对任意实数
恒成立，则取值集合是（ ）

A.
　　 　B.　
　

C.
　　　 D.

三.填空题（本题共5个小题，每小题5分，共25分）

12．已知二项式
展开式中的常数项为,且函数
,

则
___________.

13．如图，正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于点G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，现给出下列四个命题：

①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；

②恒有平面A′GF⊥平面BCED；

③三棱锥A′－FED的体积有最大值；

④直线A′E与BD不可能垂直．

其中正确的命题的序号是________．

14．运行如右图所示的程序框图，若输出的y值的范围是

[0, 10]，则输入的x的值的范围是 ．

15.已知数列{an}中，a1＝1，且P(an，an＋1)(n∈N*)在直线x－y＋1＝0上，若函数f(n)＝＋＋＋…＋(n∈N*，且n≥2)，函数f(n)的最小值是________．

四、解答题（本题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.

16．（本小题满分12分）

已知
，

，其中ω＞0．设函数f(x)＝
，且函数f(x)的周期为π．

(Ⅰ) 求ω的值；

(Ⅱ)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a，b，c成等差数列，当f(B)＝1时，判断△ABC的形状．

18.（本小题满分12分）

如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=1.

（1）求证：平面AB1D⊥平面B1BCC1；

（2）求证：A1C//平面AB1D；

（3）求平面BAB1与平面DAB1夹角的正切值.

19．（本小题满分12分）

数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S＝an(Sn－1)．

(1)求证：数列是等差数列；

(2)设bn＝
，数列{bn}的前n项和为Tn，求满足Tn≥6的最小正整数n.

20．（本小题满分13分）

设点P是圆x2＋y2＝4上任意一点，由点P向x轴作垂线PP0，垂足为P0，且
＝
.

(1)求点M的轨迹C的方程；

(2)设直线l：y＝kx＋m(m≠0)与(1)中的轨迹C交于不同的两点A，B.

①若直线OA，AB，OB的斜率成等比数列，求实数m的取值范围；

②若以AB为直径的圆过曲线C与x轴正半轴的交点Q，求证：直线l过定点(Q点除外)，并求出该定点的坐标．

答案(理)

又∵0＜B＜π，∴
＜2B＋
＜
．∴2B＋
＝
．∴B＝
．………………8分

∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c．…………………………………………………9分

∴cosB＝cos
＝
, ∴
．

化简得a＝c，……………………………………………………………………………11分

又∵B＝
，∴△ABC为正三角形．…………………………………………………12分

17．(本题满分12分)

（１）60个1×1×1的小正方体中，没有涂上颜色的有6个，
… （3分）

（２）由（1）可知

；
；
；
… （7分）

分布列

0

1

2

3



p











 … （10分）

E
=0×
+1×
+2×
+3×
=
…（12分

18.（本小题满分12分） 解法一：

证明：（1）因为B1B⊥平面ABC，AD平面ABC，所以AD⊥B1B （1分）

因为D为正△ABC中BC的中点，所以AD⊥BD （2分）

又B1B∩BC=B， 所以AD⊥平面B1BCC1 （3分）

又AD平面AB1D，故平面AB1D⊥平面B1BCC1 （4分）

（2）连接A1B，交AB1于E，连DE （5分）

因为点E为矩形A1ABB1对角线的交点，所以E为AB1的中点 （6分）

又D为BC的中点，所以DE为△A1BC的中位线，所以DE//A1C （7分）

又DE平面AB1D，所以A1C//平面AB1D （8分）

（3）解：过D作DF⊥AB于F，过F作FG⊥AB1于G，连接DG.

因为平面A1ABB1⊥平面ABC，DF⊥AB，所以DF⊥平面A1ABB1.

又AB1平面A1ABB1，所以AB1⊥DF.又FG⊥AB1，所以AB1⊥平面DFG，所以AB1⊥DG. （9分）

又AB1⊥FG，所以∠DGF为二面角B—AB1—D的平面角. （10分）

因为AA1=AB=1，所以在正△ABC中，
在
（11分）

所以在
（12分）

解法二：

解：建立如图所示的直角坐标系，依题意有：

（1）证明：由
，

得

又BC∩⊥BB1=B，所以AD⊥平面B1BCC1. （4分）

又AD平面AB1D，所以平面AB1D⊥B1BCC1 （5分）

（2）证明：连接A1B，交AB1于E，连DE，

因为点E为正方形A1ABB1对角线的交点，所以E为AB1的中点，

即
（6分）

又DE平面AB1D，所以A1C//平面AB1D （8分）

（3）解：设平面ABB1的一个法向量为

由
（9分）

设平面AB1D的一个法向量为

由
（10分）

所以
（11分）

所以
，依图可得二面角B—AB1—D的正切值为
（12分）

19. (1)证明：∵
＝an(Sn－1)，∴
＝(Sn－Sn－1)(Sn－1)(n≥2)．

∴SnSn－1＝Sn－1－Sn，即－＝1.∴是以1为首项，1为公差的等差数列．

(2)解：由(1)知Sn＝，∴bn＝log2.

∴Tn＝log2(××××…×)＝log2≥6.∴(n＋1)(n＋2)≥128.

∵n∈N*，∴n≥10.∴满足Tn≥6的最小正整数为10.

20. 解：(1)设点M(x，y)，P(x0，y0)，则由题意知P0(x0,0)．

由
＝(x0－x，－y)，
＝(0，－y0)，且
＝
，

得(x0－x，－y)＝(0，－y0)．∴于是

又x＋y＝4，∴x2＋y2＝4.∴点M的轨迹C的方程为＋＝1.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立

得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0.∴Δ＝(8mk)2－16 (3＋4k2)(m2－3)>0，

即3＋4k2－m2>0.(*),且

①依题意，k2＝，即k2＝·.

∴x1x2k2＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2.∴km(x1＋x2)＋m2＝0，

即km＋m2＝0.∵m≠0，∴k＋1＝0，解得k2＝.

将k2＝代入(*)，得m2<6.∴m的取值范围是(－，0)∪(0，)．

②证明：曲线＋＝1与x轴正半轴的交点为Q(2,0)．

依题意，
⊥
，即
·
＝0.于是(2－x1，－y1)·(2－x2，－y2)＝0.

∴x1x2－2(x1＋x2)＋4＋y1y2＝0，即x1x2－2(x1＋x2)＋4＋(kx1＋m)·(kx2＋m)＝0，

∴(k2＋1)·＋(km－2)·＋4＋m2＝0.化简，得7m2＋16mk＋4k2＝0.

解得，m＝－2k或m＝－，且均满足3＋4k2－m2>0.

当m＝－2k时，直线l的方程为y＝k(x－2)，直线过定点(2,0)(舍去)；

当m＝－时，直线l的方程为y＝k，直线过定点.

∴直线l过定点.

21.【解析】（1）因为
，

所以
．

①若
，
，
在
上单调递增．

②若
，当
时，
，
在
上单调递减；

当
时，
，
在
上单调递增．

③若
，当
时，
，
在
上单调递减；

当
时，
，
在
上单调递增．

综上：①当
时，
在
上单调递增．

②当
时，
在
上单调递减，
在
上单调递增．

③当
时，
在
上单调递减，
在
上单调递增．

（2）当
时，
．

由（1）知，若
，当
时，
，
单调递减，

当
时，
，
单调递增，

所以
．

因为对任意的
，都有
成立，

问题等价于对于任意
，
恒成立，

即
对于任意
恒成立，

即
对于任意
恒成立，

因为函数
的导数
在
上恒成立，

所以函数
在
上单调递增，所以
，

所以
，所以
．