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数学（理科）参考答案 2014.5 阅卷须知: 1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。 一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分. 1.A 2.C 3.D 4.A. 5.D 6.B 7.C 8.D 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.{或} 10.11.1 12.2 13. 14.6，5050{本题第一空3分，第二空2分} 三、解答题: 本大题共6小题,共80分. 15.解： （Ⅰ）由正弦定理可得 ----------------------------2分 因为 所以 ---------------------------5分 在锐角中， ---------------------------7分 （Ⅱ）由余弦定理可得 ----------------------------9分 又因为 所以，即-------------------------------11分 解得 -------------------------------12分 经检验，由可得，不符合题意， 所以舍去.--------------------13分 16.解： （Ⅰ）因为平面 又平面，平面平面， 所以. ---------------------------------3分 因为为中点，且侧面为平行四边形 所以为中点，所以.------------------------4分 （Ⅱ）因为底面， 所以，， ----------------------------------5分 又， 如图，以为原点建立空间直角坐标系，设，则由可得-----------------------------6分 因为分别是的中点， 所以. -----------------------------7分 .--------------------------------8分 所以， 所以. --------------------------------9分 （Ⅲ）设平面的法向量，则 即--------------------------10分 令，则，所以.--------------------------11分 由已知可得平面的法向量-------------------------------11分 所以--------------------------------13分 由题意知二面角为钝角， 所以二面角的余弦值为.--------------------------------14分 16.解： （Ⅰ）设车在星期出车的事件为，车在星期出车的事件为， 由已知可得 设该单位在星期一恰好出一台车的事件为，-------------------------------1分 因为两车是否出车相互独立，且事件互斥 ----------------2分 所以 --------------------------4分 所以该单位在星期一恰好出一台车的概率为. --------------------------5分 {答题与设事件都没有扣1分，有一个不扣分} （Ⅱ）的可能取值为0,1,2,3 ----------------------------6分 ----------------------------10分 所以的的分布列为 0 1 2 3 --------------11分 -------------------------------13分 18.解： （Ⅰ）当时， --------------------------------1分 由得 --------------------------------------2分 的情况如下 0 0 0 --------------------------------------------------4分 因为，， 所以函数的值域为. ---------------------------------------------------5分 （Ⅱ）， ①当时，的情况如下 0 0 0 0 -------------------------------------------------9分 所以函数的单调增区间为，单调减区间为和 ②当时，的情况如下 0 0 ------------------------------------------------13分 所以函数的单调增区间为，单调减区间为. 19.解: （Ⅰ）由已知可设椭圆的方程为：.-------------------------------1分 由，可得,-----------------------------------------------------2分 解得, ----------------------------------------------3分 所以椭圆的标准方程为. ------------------------------------------4分 （Ⅱ）法一： 设且，则. ----------------------------------------5分 因为, 所以直线的方程为. ----------------------------------------6分 令，得，所以. ------------------------------------7分 同理直线的方程为，求得.-----------------------8分 -----------------------------------------9分 所以, --------------------------------------10分 由在椭圆：上，所以,-------------------11分 所以, -----------------------------13分 所以, 所以，以线段为直径的圆不过点.------------------------------14分 法二：因为关于轴对称，且在轴上 所以. ------------------------------------------5分 因为在轴上，又关于轴对称 所以, ------------------------------------------6分 所以, -------------------------------------------7分 所以, ------------------------------------------8分 设且，则. ----------------------------------------9分 因为,----------------11分 所以, -----------------------------------12分 所以, ----------------------------------13分 所以，以线段为直径的圆不过点. -------------------------------14分 法三：设直线的方程为，则， ---------------------------------5分 化简得到， 所以，所以, -----------------------------6分 所以, 所以， ----------------------------7分 因为关于轴对称，所以.----------------------------8分 所以直线的方程为，即.------------------10分 令，得到，所以. --------------------11分 , ----------------------12分 所以, ----------------------------------13分 所以,以线段为直径的圆恒过和两点.--------------------------14分 {法4 :转化为文科题做，考查向量的取值} 20.解： （Ⅰ）,,---------------------------3分 （Ⅱ）法一： ①当时，则 所以，， 由操作规则可知，每次操作，数组中的最大数变为最小数，最小数和次 小数分别变为次小数和最大数，所以数组的极差不会改变. 所以，当时，恒成立. ②当时，则 所以或 所以总有. 综上讨论，满足的的取值仅能是2.---------------------8分 法二： 因为，所以数组的极差 所以， 若为最大数，则 若，则 若，则， 当时，可得，即 由可得 所以 将代入得 所以当时，（） 由操作规则可知，每次操作，数组中的最大数变为最小数，最小数和次小 数分别变为次小数和最大数，所以数组的极差不会改变. 所以满足的的取值仅能是2. ---------------------8分 （Ⅲ）因为是以4为公比的正整数等比数列的三项， 所以是形如（其中）的数， 又因为 所以中每两个数的差都是3的倍数. 所以的极差是3的倍数.------------------------------------------------9分 法1：设，不妨设， 依据操作的规则，当在三元数组（，）中，总满足是唯一最大数，是最小数时，一定有，解得. 所以，当时，. ， 依据操作的规则，当在三元数组（，）中，总满足是最大数，是最小数时，一定有，解得. 所以，当时，. ， 所以存在，满足的极差.--------------------------------13分 法2：设，则 ①当中有唯一最大数时，不妨设，则 ， 所以 所以，若是3的倍数，则是3的倍数. 所以，则，， 所以 所以-------------------------------------------11分 ②当中的最大数有两个时，不妨设，则 ， 所以， 所以，若是3的倍数，则是3的倍数. 所以，则， 所以. 所以当时，数列是公差为3的等差数列.------------------------------12分 当时，由上述分析可得，此时 所以存在，满足的极差.----------------------------------13分 | ||||||||||||||||||||||||||||||
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