2013学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷

高三年级数学学科（文科） 　 　 2014.4

填空题：(本题满分56分，每小题4分)

1．已知集合
，
，则
____________．

2．直线
的倾斜角的大小为____________．

3．函数
的单调递减区间是____________．

4．函数
的值域为____________．

5．设复数满足
，则
＝____________．

6．某学校高一、高二、高三共有2400名学生，为了调查学生的课余学习情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本.已知高一有820名学生，高二有780名学生，则在该学校的高三应抽取____________名学生.

7．函数
的最小正周期=____________．

8．已知函数
，则
____________．

9．如图，在直三棱柱
中，
，则异面直线
与
所成角的余弦值是____________．

10.已知实数、满足不等式组
，则
的最大值是____________．

11．若
的展开式中
的系数为
，

则
=____________．

12．如图，三行三列的方阵中有9个数
，从中任取三个数，

则这三个数位于不同行不同列的概率是____________． (结果用分数表示)

13．对于集合
，定义集合
，记集合
中的元素个数为
．若
是公差大于零的等差数列，则
=____________．

14．如图所示，在边长为2的正六边形
中，动圆
的半径为1，圆心在线段
（含端点）上运动，是圆
上及内部的动点，设向量
为实数），则
的最大值为____________．

二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）

15．命题：
；命题：关于的实系数方程
有虚数解,则是的 （　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

16．已知直线
平面，直线平面
，给出下列命题,其中正确的是-----------( )

①
②

③
④

A．②④ B. ②③④ C. ①③ D. ①②③

17．在
中，角
的对边分别是
，且
，则
等于----（ ）

A．
B．
C．
D．

18．函数
图像上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为公比的数是------------------------------------------------------------------------------------------------（ ）

A．
B．
C．
D．

解答题：（本大题共5题，满分74分）

19．（本题满分12分）

如图所示，给出的是某几何体的三视图，其中正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图为半径等于1的圆.试求这个几何体的体积与侧面积.

20．（本题满分14分）

如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登．已知
，
，
（千米），
（千米）．假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1200米，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰．

（即从B点出发到达C点）

21．（本题满分14分；第（1）小题6分，第（2）小题8分）

已知椭圆
的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4．

（1）求椭圆
的方程；

（2）已知直线
与椭圆
交于、两点，若点
，求证
为定值.

22．（本题满分16分；第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题8分）

定义：对于函数
，若存在非零常数
，使函数
对于定义域内的任意实数，都有
，则称函数
是广义周期函数，其中称为函数
的广义周期，
称为周距．

（1）证明函数
是以2为广义周期的广义周期函数，并求出它的相应周距
的值；

（2）试判断函数
（
为常数，
）是否为广义周期函数，若是，请求出它的一个广义周期和周距
，若不是，请说明理由；

（3）设函数
是周期
的周期函数，当函数
在
上的值域为
时，求
在
上的最大值和最小值．

23．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题５分，第（3）小题9分）

一个三角形数表按如下方式构成（如图：其中项数
）：第一行是以4为首项，4为公差的等差数列，从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：
；
为数表中第行的第
个数．

求第2行和第3行的通项公式
和
；

证明：数表中除最后2行以外每一行的数都依次成等差数列；

求
关于（
）的表达式．

2013学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷

高三年级数学学科（文科）参考答案及评分标准 　 　 2014.4

填空题：(本题满分56分，每小题4分)

１．
　 ２．
　　　3．
4．
　

5．
　　　 6．40 7．　　 8．
　　 9．
　　　

10．20　　 11．2 12．
　 13．17　　 　14．5

二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）

15．B　　　16．Ｃ　　　17．Ｄ　　　18．Ｂ

解答题：（本大题共5题，满分74分）

19．（本题满分12分）

解：根据几何体的三视图知，

原几何体是以半径为1的圆为底面且高为的圆锥．

由于该圆锥的母线长为2，---------------（4分）

则它的侧面积
，-----------（8分）

体积
．------------------------（12分）

20．（本题满分14分）

解：由
知
，

解：由
知
，

由正弦定理得
，所以，
．---------------------------------------（4分）

在
中，由余弦定理得：
，

即
，即
，

解得
（千米）， -----------------------------------------------（10分）

（千米），--------------------------------------------------------------------（12分）

由于
，所以两位登山爱好者能够在2个小时内徒步登上山峰．---（14分）

21．（本题满分14分；第（1）小题6分，第（2）小题8分）

解：（1）设椭圆的短半轴为
，半焦距为，

则
，由
得
，

由
　解得
,

则椭圆方程为
. --------------------------------------------（6分）

（2）由
得

----------------------------------------------------------------（8分）

设
由韦达定理得：

=

=

=

所以
为定值
. ------------------------------------------（14分）

22．（本题满分16分；第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题8分）

解：（1）
，

（非零常数）

所以函数
是广义周期函数，它的周距为2；-----（4分）

（2）函数
（
为常数，
）

是广义周期函数， 且
.证明如下：

（非零常数）. -------------------------------------------------------------------------------------（ 8分）

（3）
，

所以
是广义周期函数，且
. ------------------------------------------（10分）

设
满足
，

由
得：

，

又
知道
在区间
上的最小值是在
上获得的，而
，所以
在
上的最小值为
．--------------------（ 13分）

由
得
得：

，

又
知道
在区间
上的最大值是在
上获得的，而
，所以
在
上的最大值为23．-----------（16分）

23．（本题满分18分；第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题9分）

解：（1）
，

，---------------------------------------------------------------------------------------------------------（4分）

（2）由已知，第一行是等差数列，

假设第
行是以
为公差的等差数列，则由

（常数）

知第
行的数也依次成等差数列，且其公差为
.

综上可得，数表中除最后2行以外每一行都成等差数列．---------------------------（9分）

（3）由于
，所以
，---------------------（11分）

所以
，

由
得

，----------------------------------------------（13分）

于是
，即
，----------------------------（15分）

又因为
，所以，数列
是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以，
，所以
（
）．----------（18分）