大庆市高三年级第三次教学质量检测

数学试题参考答案及评分标准（理科）

2014.4

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．

一．选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

D

B

C

A

B

D

B

C

C

B

A

D



二．填空题

（13）； （14）
； （15）； （16）
.

三. 解答题

（17）（本小题满分12分）

解：（I）设数列
的公差为
，

∵
，∴
.① ……………………3分

又∵
成等比数列，∴
.② …………………5分

由①②解得
，
. ……………………6分

∴
. ……………………7分

（II）∵
， ……………………8分

∴
=
. ……10分

∴当
时，
，当
时，
，

∴
. ……………………12分

（18）（本小题满分12分）

解：（I）由分组
内的频数是，频率是
，

∴
，∴
. …………………………1分

∵频数之和为
，∴
，∴
， …………………………2分

， …………………………3分

∵是对应分组
的频率与组距的商，∴
. ……………………4分

（II）∵该校高三学生有
人，分组
内的频率是
，∴估计该校高三学生在一个月内参加体育活动的次数在此区间的人数为
. …………………………6分

（III）根据题意
可能取值为
. …………………………7分

，
，
，

∴
的分布列为



















 ……………………………10分

∴
. ……………………………12分

（19）（本小题满分12分）

解：（I）∵
，
，∴
，
，又∵
，
∥
，
，

∴四边形
为矩形，
， ……………………………2分

又∵
，
，故
平面
， ……………………………4分

从而
，又因为
∥
，所以
.…………6分

（II）由题意和（I）知
，
，
，

∴以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
，

则
，
，
，
，，
，

从而
，
，

由
知

. …………………………8分

设平面
的法向量为
，则
即
，

令
，则
，可取
，

设平面
的法向量为
，则
，即
，

令
，则
，可取
， ………………………………10分

∴
，

故二面角
的余弦值为
. ……………………………12分

（20）（本小题满分12分）

解：（I）
. ……………………………1分

当
时，
，∴
在
上单调递增；

当
时，令
，得
，∴
在
上单调递增；

令
，得
，∴
在
上单调递减. …………………4分

∴当
时，
的单调增区间是
，无单调减区间；

当
时，
的单调增区间是
，单调减区间是
. …………………5分

（II）由（I）知，当
时，
在
上单调递增，

且
，∴
在
上不恒成立； …………6分

当
时，由（I）得
，

若使
在
上恒成立，只需
， ………………………7分

令
，
，∴当
时，
，

当
时，
，∴
，∴只有
符合题意，

综上，
. …………………………………9分

（III）由（II）知
，∴
，

∵
，∴
，由（II）得，当
时，
， …………………10分

∴
，∵
，∴
，∵
，∴
，

∴
. …………………………………12分

（21）（本小题满分12分）

解：（I）由已知
，
，…………2分

解得：
，

故所求椭圆方程为
. …………4分

（II）设
，
.

不妨设
，则直线
的方程为
，………………………5分

即
，又圆心
到直线
的距离为，

即
，化简得
，…………………7分

同理，
，∴
是方程
的两个根，

∴
，则
，………………………9分

∵
是椭圆上的点，∴
，∴
.

则

，

令
，则
，令
，

化简，得
，则
，

令
，得
，而
，

∴函数
在
上单调递减，当
时，
取到最小值，

此时
，即点的横坐标为
时，
的面积最小. ……………12分

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

证：（I）连结
，

∵四边形
为圆的内接四边形，

∴
, ………………1分

又
，∴
∽
，

∴
，∵
，

∴
， …………………………3分

又
是
的角平分线，∴
，从而
. ……………………………5分

（II）由已知得
，设
， ……………………………6分

由割线定理得
, ……………………………7分

即
，∴
，

解得
，即
. ……………………………10分

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

解：（I）曲线的普通方程为
, ……………………………1分

将
代入上式整理得
，解得
， ……………………………3分

故点的坐标为
，其极坐标为
. ……………………………5分

（II）依题意，坐标变换式为
……………………………6分

故的方程为
，即
, …………………………7分

当直线的斜率存在时,设其方程为
，即
，

由已知圆心
到直线的距离为
，

故
，解得
，此时直线的方程为
，

当直线的斜率不存在时，其方程为
，显然成立.

故直线的极坐标方程为
或
. …………………10分

（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

解：（I）
. …………………………1分

当
时，由
得
，此时无解；

当
时，由
得
，∴
；

当
时，由
得
，∴
. …………………………4分

综上，所求不等式的解集为
. …………………………5分

（II）由（I）的函数解析式可以看出函数
在
单调递减，在
单调递增，故
在
处取得最小值，最小值为
， ………………………7分

不等式
对任意的
恒成立等价于
，

即
，解得
，故的取值范围为
. …………10分