滨河中学2014高三理数模拟试题

参考公式：1.球的表面积公式：
，其中R表示球的半径.

2.如果事件
在一次试验中发生的概率是
，那么
次独立重复试验中恰好

发生
次的概率 :
．

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．）

1.设集合
，则
等于 （ ）．

A．{1，2} B．{3，4} C．{1} D．{-2，-1，0，1，2}

2.复数
（ ）

A．1 B．-1 C．
D．

3. 设向量
，
，则下列结论正确的是 ( )

A.
B.
C.
∥
D.

与
垂直

4．p:a,b,c是等差数列；q:
.则p是q的（ ）条件

A.充分不必要 B. 必要不充分 C.充要 D.既不充分又不必要

5．
则A=( )

A.
B.
C.
D.

6．已知函数
若
，则
（ ）

A．
B．
C．
或
D．1或

7. 一正方形两顶点为双曲线
的两焦点，若另两顶点在双曲线
上，则双曲线
的

离心率为（ ）．

A. 2
B.
+1 C.
D. 以上答案均有可能

8. 下列四个判断：

①某校高三一班和高三二班的人数分别是
，某次测试数学平均分分别是
，

则这两个班的数学平均分为
；

②
名工人某天生产同一零件，生产的件数是
设其

平均数为
,中位数为
,众数为
，则有
；

③从总体中抽取的样本
，则

回归直线
=
必过点（
）

④已知
服从正态分布
,
，且
，则

其中正确的个数有： （ ）

A．1个 B．0个 C．
个 D．
个

二.填空题：本大题共7小题，考生做答6小题，每题5分, 共30分．

9..统计1000名学生的数学模块(一)水平测试成绩，得到样本频率分布直方图如右图示，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格但不优秀的人数是 ；

10. 若
展开式的二项式系数之和为
，则展开式的

常数项为 .

11．一个几何体的三视图如图,则这个

几何体的全面积是 .

12．实数t满足
则t= .

13. 如右的程序框图可用来估计圆周率
的值．设
是产生随机数的函数，它能随机产生区间
内的任何一个数，如果输入2012，输出的结果为1580，则运用此方法，计算
的近似值为 . （保留四位有效数字）

14. 在直角坐标系中圆
的参数方程为
（
为参数），若以原点
为极点，以
轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆
的极坐标方程为______ __．

15. 如图5所示，圆
的直径
，

为圆周上一点，
过

作圆的切线
，过
作
的垂线
，

垂足为
，则
,

三．解答题（共计80分）

16. （本小题满分12分）

已知函数
.

（1）求函数
的最小正周期以及单调减区间；

（2）若
，且
，求
的值.

17．（本小题满分12分）w_w w. k#s5_u.c o*m

某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为
.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。

（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；

（Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ.

18．（本小题满分14分）

如图，已知
分别是正方形
边
的中点，
与
交于点O，
都垂直于平面
，且
是线段
上一动点．

（Ⅰ）求证：平面

平面
；

（Ⅱ）若
∥
，试求
的值；

（Ⅲ）当M是PA中点时，求二面角
的余弦值．

19．（本小题满分14分）

已知等差数列
的公差
，它的前
项和为
，若
，且
，
，
成等比数列．

（1）求数列
的通项公式；

（2）设数列
的前
项和为
，求证：
．

20.(本小题满分14分)

在直角坐标系
中，动点
与定点
的距离和它到定直线
的距离之比是
，设动点
的轨迹为
，
是动圆

上一点.

（1）求动点
的轨迹
的方程；

（2）设曲线
上的三点
与点
的距离成等差数列，若线段
的垂直平分线与
轴的交点为
，求直线
的斜率
；

（3）若直线
与
和动圆
均只有一个公共点，求
、
两点的距离
的最大值.

21.（本小题满分14分）

设函数
，其中
．

（Ⅰ）当
时，判断函数
在定义域上的单调性；

（Ⅱ）求函数
的极值点；

（Ⅲ）证明对任意的正整数
，不等式
都成立．

2014高三理数模拟试题参考答案

一．选择题 ABDC DCBA.

二．填空题 9. 600; 10. 20; 11.
; 12. 1;

13. 3.141; 14.
; 15. 300.

三．解答题

16．（本小题满分12分）

(本小题主要考查三角函数的图象与性质、二倍角的余弦、同角三角函数关系、两角差的正弦等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力)

（1）解：∵

, …………… 2分

∴函数
的最小正周期为
. …………… 4分

由

故
的单调减区间为
……6分

（2）解：由（1）得
.

∵
，

∴
. …………… 8分

∵
，

∴
，. ……………10分

∴
……………11分

=
=
……………12分

17．解：（1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么w_w w. k#s5_u.c o*m

P(A)=P(B)=P(C)=

P(
)=P(A)P(
)P(
)=

答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为
…………………………6分

（2）ξ的可能值为0,1,2,3

P(ξ=k)=
(k=0,1,2,3)

所以中奖人数ξ的分布列为w_w w. k#s5_u.c o*m

ξ

0

1

2

3



P











Eξ=
…………………………………………12分

18．解：法1：（Ⅰ）连结
，

∵
平面
，
平面
，∴
，

又∵
，
，

∴
平面
，

又∵
，
分别是
、
的中点，∴
，

∴
平面
，又
平面
，

∴平面
平面
；---------------------------------------4分

（Ⅱ）连结
，

∵
平面
，平面
平面
，

∴

，

∴
，故
-------------------------------8分

（Ⅲ）∵
平面
，
平面
，∴

，

在等腰三角形
中，点
为
的中点，∴
，

∴
为所求二面角
的平面角， ---------------------------------------10分

∵点
是
的中点，∴
，

所以在矩形
中，可求得
，
，
，------12分

在
中，由余弦定理可求得
，

∴二面角
的余弦值为
． -----------------14分

法2：（Ⅰ）同法1；

（Ⅱ）建立如图所示的直角坐标系，则
，
，
，
，

∴
，
，

设点
的坐标为
，平面
的法向量为
，则
，

所以
，即
，令
，则
，
，

，

∵
平面
，∴
，即
，解得
，

故
，即点
为线段
上靠近
的四等分点；故
-----8分

（Ⅲ）
，则
，设平面
的法向量为
，

则
，即
，令
，

则
，
，即
，

当
是
中点时，
，则
，

∴
，

∴二面角
的余弦值为
．-------14分

19．（本小题满分14分）

（1）解：因为数列
是等差数列，

所以
，
．………………………1分

依题意，有
即
………………3分

解得
，
．…………………………………………………5分

所以数列
的通项公式为
（
）．…………………………6分

（2）证明：由（1）可得
．………………………………………7分

所以

．……………………………8分

所以

……………9分

．……………………………………………10分

因为
，所以
．…………………………11分

因为
，所以数列
是递增数列．………12分

所以
．………………………………………………………13分

所以
．…………………………………………………………14分

20．(本题满分14分)

解：（1）由已知，得
，…………………………1分.

将两边平方，并化简得
， …………………………3分.

故轨迹
的方程是
。 ………………4分.

（2）由已知可得
，
，
，

因为
，所以


，

即得
， ① …………………………5分.

故线段
的中点为
，其垂直平分线方程为
， ②

…………………………6分.

因为
在椭圆上，故有
，
，两式相减，

得：
③

将①代入③，化简得
， ④ ………………………7分.

将④代入②，并令
得，
，即
的坐标为
。………………………8分.

所以